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Cnc mp 2018 maths 1 epreuve

Concours National Commun ?? Session ?? MP L ? e ?nonce ? de cette e ?preuve particuliere aux candidats de la ?liere MP comporte pages L ? usage de la calculatrice est interdit Les candidats sont informe ?s que la pre ?cision des raisonnements ainsi que le soin apporte ? ala re ?daction et a la pre ?sentation des copies seront des e ?le ?ments pris en compte dans la notation Il convient en particulier de rappeler avec pre ?cision les re ?fe ?rences des questions aborde ?es Si au cours de l ? e ?preuve un candidat repere ce qui peut lui sembler e tre une erreur d ? e ?nonce ? il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il est amene ? a prendre A propos des ze ?ros des fonctions de Bessel d ? indice entier De ? ?nitions et notations Si I est un intervalle non trivial de R et ? deux fonctions re ?elles de ? ?nies et continues sur I on note E ? l ? e ?quation di ?e ?rentielle y y ?y E ? Si est la fonction nulle l ? e ?quation di ?e ?rentielle E ? se notera simplement E ? Les solutions des e ?quations di ?e ?rentielles sont a valeurs re ?elles Si u est solution sur I d ? une e ?quation di ?e ?rentielle un e ?le ?ment t de l ? intervalle I est dit ze ?ro de u si u t e re partie E ? tude de solutions des e ?quations di ?e ?rentielles de Bessel d ? indice entier Dans cette partie n de ?signe un entier naturel On note Bn l ? e ?quation di ?e ?rentielle x y xy x ?? n y Bn ?? n On note e ?galement ?n la fonction de ? ?nie sur l ? intervalle ? par ?n t t Soit u une solution non identiquement nulle sur l ? intervalle ? de l ? e ?quation di ?e ?rentielle Bn On note v la fonction de ? ?nie sur ? par ?? ??t v t t u t Montrer que la fonction v est une solution non identiquement nulle sur l ? intervalle ? de l ? e ?quation di ?e ?rentielle E ?n Si akzk est une se ?rie entiere a coef ?cients re ?els et de rayon de convergence R on pose k ? yn t aktn k t ?? ??R R k et on suppose que yn est solution sur l ? intervalle ??R R de l ? e ?quation di ?e ?rentielle Bn Montrer que a et que pour tout k ?? N k n k ak ak ?? k En de ?duire que pour tout entier naturel k a k et a k a n kk n k Calculer le rayon de convergence des se ?ries entie res k n k zk et ?? k kk n k