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Cours chapitre2 Modélisation dynamique à une équation Professeur Noha EL KHATTABI Université Mohammed-V Agdal - Rabat Faculté des sciences mars Professeur Noha EL KHATTABI COURS FSR mars CIntroduction Un grand nombre de systèmes peuvent être décrits par u

Modélisation dynamique à une équation Professeur Noha EL KHATTABI Université Mohammed-V Agdal - Rabat Faculté des sciences mars Professeur Noha EL KHATTABI COURS FSR mars CIntroduction Un grand nombre de systèmes peuvent être décrits par une équation di ?érentielle exprimant le bilan d ? une grandeur caractéristique de l ? état de ce système Ainsi la masse totale M d ? un constituant quelconque présente dans une région particulière de l ? espace évolue en fonction du temps selon une loi du type dM Production - Destruction Echange dt o? les trois termes du membre de droite correspondent e ?ectivement aux taux de production de destruction et d ? échange du constituant considéré En général on adopte comme convention de considérer comme positif tout apport au système tandis que les échanges avec le monde extérieur sont négatifs s ? ils induisent une perte pour le système Professeur Noha EL KHATTABI COURS FSR mars CDe même la dynamique d ? une population d ? une espèce particulière mesurée par N nombre d ? individus ou biomasse exprimée en unités appropriées suit une loi du type dN Natalité - Mortalité Migration Transport dt o? les trois termes du membre de droite représentent respectivement les taux de natalité de mortalité et de migration ou de transport apports extérieurs Dans les cas les plus simples les termes de production destruction et d ? échange resp de natalité mortalité migration transport peuvent s ? exprimer directement en fonction de M resp de N de sorte que l ? équation de bilan permet à elle seule de déterminer l ? évolution temporelle M t resp N t Dans d ? autres cas la paramétrisation des taux de variation en fonction de M resp de N cache une modélisation des e ?ets combinés d ? une multitude de processus qui ne peuvent être pris en compte explicitement ou que l ? on ne désire pas prendre en compte explicitement Professeur Noha EL KHATTABI COURS FSR mars CModèles di ?érentiels Modèles malthusien et logistique Thomas Robert Malthus - économiste britannique premier à avoir présenté un modèle mathématique malthusien qui prédit une augmentation exponentielle de la population et une croissance linéaire des ressources Ce pronostic pessimiste a été très vite contesté par la révolution industrielle et la révolution verte Et c ? est le mathématicien belge Verhulst en qui propose un modèle logistique plus réaliste Professeur Noha EL KHATTABI COURS FSR mars CLe modèle dû à Malthus ignore la migration et le transport et suppose que la natalité et la mortalité sont proportionnelles à la densité de la population Si N représente cette densité et b et d les taux de natalité et de mortalité respectivement le modèle s ? écrit donc dN bN ?? dN dt Si la population initiale est N alors N t N e b ??d t Selon le signe de b ?? d la population cro? t exponentiellement ou s ? éteint rapidement Ce modèle est irréaliste pour établir des prévisions à plus ou