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A2019 – MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TE

A2019 – MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH. Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOURS 2019 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l’épreuve : 3 heures L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L’énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Etude d’une série de fonctions Le sujet est consacré à l’étude de quelques propriétés de dérivabilité de la fonction R : R æ C déﬁnie par R(x) = Œ ÿ n=1 sin(n2x) n2 pour tout x œ R. Notations — On note ÂxÊ la partie entière d’un réel x. — Soit (un)nœZ une famille de nombres complexes indexée par l’ensemble Z des entiers relatifs. Dans le cas où les séries q nØ0 un et q nØ1 u≠n sont toutes deux convergentes, on pose ÿ nœZ un = Œ ÿ n=0 un + Œ ÿ n=1 u≠n. I Préliminaires On établit dans cette partie quelques résultats utiles dans la suite du problème. 1. Montrer que la fonction R est bien déﬁnie et qu’elle est continue sur R. 2. Montrer que l’intégrale ⁄ +Œ 0 sin(x2) x2 dx est convergente. Dans la suite du problème, on admet que ⁄ +Œ 0 sin(x2) x2 dx = Úﬁ 2 . Soit f : R æ C une fonction continue par morceaux et intégrable. On pose ‚ f(x) = ⁄ +Œ ≠Œ f(t)e≠ixt dt pour tout x œ R. 3. Montrer que la fonction ‚ f est bien déﬁnie, et continue sur R. 1 II Etude de la dérivabilité de R en 0 Dans cette partie, on considère une fonction f : R æ C, continue et telle qu’il existe un réel C > 0 tel que |f(t)| Æ C t2 + 1 pour tout t œ R. On pose S(h) = h Œ ÿ n=0 f(nh) pour tout h > 0. 4. Justiﬁer l’existence de S(h) pour tout h > 0. On ﬁxe h > 0, et on considère la fonction „h : R+ ≠ æ C t ‘≠ æ f 37 t h 8 h 4 . 5. Montrer que S(h) = ⁄ +Œ 0 „h(t) dt. 6. Montrer que, pour tous h œ]0, 1] et t œ [1, +Œ[, on a |„h(t)| Æ C 1 + (t ≠1)2 · 7. En déduire que S(h) æ ⁄ +Œ 0 f(t) dt quand h æ 0. 8. En déduire un équivalent de R(x) quand x tend vers 0 par valeurs strictement positives. La fonction R est-elle dérivable en 0 ? III Formule sommatoire de Poisson Dans cette partie, on note C2ﬁl’espace vectoriel des fonctions continues et 2ﬁ-périodiques de R vers C. Si u est un élément de C2ﬁ, on pose cp(u) = 1 2ﬁ ⁄ 2ﬁ 0 u(t)e≠ipt dt pour tout p œ Z. 2 On admet le résultat suivant, que l’on pourra utiliser sans démonstration dans toute cette partie : si u et v sont deux éléments de C2ﬁqui vériﬁent cp(u) = cp(v) pour tout p œ Z, alors u = v. On considère une fonction f : R æ C, continue et telle qu’il existe des réels strictement positifs C1 et C2 tels que |f(t)| Æ C1 t2 + 1 pour tout t œ R et | ‚ f(x)| Æ C2 x2 + 1 pour tout x œ R, où la fonction ‚ f a été déﬁnie à la question 3. On pose également F(x) = ÿ nœZ f(x + 2nﬁ) et G(x) = ÿ nœZ ‚ f(n)einx pour x œ R. 9. Montrer que la fonction F est bien déﬁnie, 2ﬁ-périodique et continue sur R. 10. Montrer que la fonction G est bien déﬁnie, 2ﬁ-périodique et continue sur R. 11. Montrer que G = 2ﬁF. En particulier, on a G(0) = 2ﬁF(0), soit : ÿ nœZ ‚ f(n) = 2ﬁ ÿ nœZ f(2nﬁ), 12. Montrer que, pour tout réel strictement positif a, on a ÿ nœZ f(na) = 1 a ÿ nœZ ‚ f 32nﬁ a 4 . Cette égalité constitue la formule sommatoire de Poisson. 3 IV Etude de la dérivabilité de R en ﬁ On considère la fonction f : R æ C déﬁnie par f(t) = Y _ _ ] _ _ [ eit2 ≠1 t2 si t ”= 0 i si t = 0. 13. Montrer que f est de classe CŒ sur R. On pourra utiliser un dévelop- pement en série entière. 14. Etablir que fÕ(t) æ 0 quand t æ ±Œ, et que fÕÕ(t) = ≠4eit2 + O(t≠2) quand t æ ±Œ. 15. Montrer que l’intégrale I = ⁄ +Œ ≠Œ eix2 dx est convergente. 16. Montrer que ‚ f(x) = O(x≠2) quand x æ ±Œ. On pose à présent F(x) = Œ ÿ n=1 ein2x n2 pour x œ R. 17. En utilisant la formule sommatoire de Poisson, montrer qu’il existe des nombres complexes a et b tels que F(x) = F(0)+aÔx+bx+O(x3/2) quand x æ 0 par valeurs strictement positives. Préciser la valeur de b, et exprimer a en fonction de I (l’intégrale I a été déﬁnie à la question 15). 18. Exprimer, pour x œ R, F(ﬁ+ x) en fonction de F(4x) et de F(x). 19. Déduire de ce qui précède que la fonction R est dérivable en ﬁ, et préciser la valeur de RÕ(ﬁ). Fin du problème 4 uploads/Geographie/ 2019-mines-pc-maths2 1 .pdf