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Cours chapitre3 Dynamique de populations en intéractions Modèles continues Professeur Noha EL KHATTABI Université Mohammed-V Agdal - Rabat Faculté des sciences mars Professeur Noha EL KHATTABI COURS FSR mars CIntroduction Les problèmes environnementaux so

Dynamique de populations en intéractions Modèles continues Professeur Noha EL KHATTABI Université Mohammed-V Agdal - Rabat Faculté des sciences mars Professeur Noha EL KHATTABI COURS FSR mars CIntroduction Les problèmes environnementaux sont généralement caractérisés par des interactions fortes entre leurs di ?érentes composantes qu ? il s ? agisse d ? espèces chimiques qui réagissent lorsqu ? elles sont mises en contact l ? une avec l ? autre ou d ? espèces di ?érentes d ? un réseau trophique qui se nourrissent l ? une de l ? autre Par une modélisation mathématique adaptée on peut décrire ces interactions et leur dynamique Les modèles mathématiques les plus simples comprennent un système d ? équations di ?érentielles qui sont couplées par des termes souvent non linéaires On s ? intéressera dans ce chapitre au cas de deux populations d ? e ?ectifs respectifs x t et y t en interaction Le modèle est généralement un système de deux équations di ?érentielles de la forme x f x h x y y g y k x y Professeur Noha EL KHATTABI COURS FSR mars Cles fonctions f x et g y représentent les croissances des populations isolées et ne dépendent que de l ? e ?ectif de cette population alors que les termes h x y et k x y correspondent aux interactions entre les populations et dépendent des e ?ectifs des deux populations Si la population d ? e ?ectif x vit dans un milieu avec une ressource limitée on choisira par exemple une fonction de croissance de type logistique f x rx ?? x K o? r est le taux de croissance et K est la capacité limite du milieu Si la population y est caractérisée par une mortalité m on pourra choisir g y ??my Professeur Noha EL KHATTABI COURS FSR mars CLe choix des fonctions h x y et k x y dépend de la nature de l ? interaction entre les deux populations On distingue des interactions positives resp négatives qui favorisent resp défavorisent la croissance d ? une population Les signes des fonctions h x y et k x y rendent compte de ce caractère favorable ou non à la croissance Professeur Noha EL KHATTABI COURS FSR mars CModèle de Lotka Volterra Description du modèle Initialement présenté par Lotka pour décrire la dynamique d ? une réaction chimique ce modèle a été également proposé par Volterra pour décrire les oscillations temporelles de certaines espèces de poissons en mer Adriatique C ? est un modèle proie-prédateur qui fait l ? hypothèse qu ? en absence de prédateurs la croissance des proies est illimitée soit f x rx dont la solution est x t x exp rt avec r le taux de croissance des proies Le modèle suppose une mortalité naturelle du prédateur qui ne peut donc pas survivre en absence de proie g y ??my dont la solution est y t y exp ??mt o? m est le taux de mortalité naturelle du prédateur Professeur Noha