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Cours intro edp master g eng 4

Méthode de séparation des variables Introduction Principe de la méthode A partir d'un exemple on va présenter une méthode qu'on peut souvent utiliser pour trouver la solution d ? une E D P véri ?ant certaines conditions initiales et certaines conditions frontières Soit à résoudre l'équation E I avec les conditions suivantes u x f x condition initiale II u t u L t conditions frontières COn essaye de résoudre ce problème en cherchant une solution de la forme u x t X x T t Alors l ? équation E les conditions initiale et aux frontières deviennent III COn suppose f non identiquement nulle on cherche donc deux fonctions X et T non identiquement nulles en tout point x t o? u x t est non nulle IV Le membre de droite ne dépend que de la variable t alors que celui de gauche ne dépend que de x Cette relation ne peut donc être satisfaite quelque soient x et t que si les deux membres se réduisent à une même constante CAinsi il faut trouver les nombres ? et toutes les fonctions non identiquement nulles X ? et T ? telles que V Si X ? T ? et ? sont solutions du problème II- u x t X ? T ? véri ?e l et II- CDe plus u x X ? x T ? u x t ne peut être solution de I véri ?ant II-I que si f x est proportionnelle à l ? une des fonctions X ? x Autrement dit on sait résoudre le problème proposé pour toutes les fonctions f proportionnelles à l'une des fonctions X ? CComme l'équation I est linéaire et comme les conditions frontières II- sont véri ?ées par les fonctions d'un espace vectoriel toute combinaison linéaire de solution de l véri ?ant II- est encore solution de véri ?ant II- Si X Xn et T Tn sont solutions de II- u x t i Xi x Ti t est solution de l et véri ?e II- or u x i Xi x Ti si f x i ai Xi x on peut résoudre le problème initial en choisissant Tk ak CAinsi il faut trouver les fonctions f qui peuvent s'exprimer en fonction de la suite Xn n IN par la formule f x n an Xn x Ces fonctions f appartenant à un certain espace vectoriel H il faut examiner si orthonormée de H la famille Xn n IN forme une base La méthode de séparation de variables dans les E D P linéaires conduit à la résolution d'équations di ?érentielles Ce qui nous ramène donc à des problèmes de recherche de valeurs propres ou de fonctions propres de l'opérateur di ?érentiel correspondant C Opérateurs linéaires dans les espaces de Hilbert Produit Hermitien un produit hermitien synonymes produit scalaire noté ? sur l ? espace vectoriel complexe E est une application de l ? ensemble E dans qui satisfait ? et f g h E les axiomes suivants