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Devoir mg 2015 2016 Exercices de cours du chapitre II Exercice I- Machine d ? Atwood La machine d ? Atwood schématisée par la ?gure ci-contre est constituée de deux masses supposées ponctuelles m et m reliées entre elles par un ?l parfait ?l sans masse et

Exercices de cours du chapitre II Exercice I- Machine d ? Atwood La machine d ? Atwood schématisée par la ?gure ci-contre est constituée de deux masses supposées ponctuelles m et m reliées entre elles par un ?l parfait ?l sans masse et inextensible Le ?l Gpasse dans une poulie de rayon R montée sur un pivot parfait d ? axe O zo on note I le moment d ? inertie de la poulie par rapport à l ? axe de rotation Nous supposons que le contact entre le ?l et la poulie à lieu sans glissement La masse m est rappelée vers sa position d ? équilibre par un ressort de raideur K Une force F cos ?t est appliquée verticalement à la masse m les deux masses sont supposées guidées en translation On choisira comme origine des déplacements la poGsition à vGide du ressort Le champ de pesanteur est dé ?ni par g ??g yo G yo O m G g G xo m F cos ?t A ?? Recherche des équations du mouvement ? Justi ?er votre choix de paramétrage ? Exprimer les équations de Lagrange ? En déduire la position initiale du système B ?? Tensions dans le ?l On veut déterminer les tensions dans les deux brins du ?l ? Justi ?er votre choix de paramétrage ? Exprimer les équations de Lagrange a Utiliser un bilan d ? e ?ort pour exprimer le travail virtuel des liaisons b Utiliser les multiplicateurs de Lagrange et analyser les expressions ? En déduire les tensions dans le ?ls et retrouver l ? équation du mouvement en Annexe Retrouver en les identi ?ant ces équations à partir du Principe Fondamental de la Dynamique Corrigé de l ? exercice II- Machine d ? Atwood Avant de vous lancer dans l'exercice il est utile de se rappeler la forme des équations de Lagrange en connaissant l'origine des di ?érents termes ? ?A i ? ? ? d dt ? ? ? ? Ec ? q i ? ?? ? ? ? ? Ec ? qi ? ? ?qi ? ? ?T i ? ? ? Di ?? ? ? ? ? Ep ? qi ? ? ?qi i Li ?qi d dt ? ? ? ? Ec ? q i ? ?? ? ? ? ? Ec ? qi ? ? ? ? ? Ep ? qi ? Di Li Recherche des équations du mouvement Pour obtenir les équations du mouvement il faut que Le travail virtuel des e ?orts de liaison soit nul Le paramétrage doit respecter toutes les liaisons on traitre le problème réel ? ?TL Liaisons supposées parfaites Paramétrage G Mvt de Poulie Ro liaison pivot O zo Mvt de m Ro translation ? un paramètre ? G zo ? un paramètre y G G yo ? g G O xo Mvt de m Ro translation ? un paramètre y Liaison par ?l et non glissement du ?l sur la poulie ? équations ? ? ? y y