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Table carac s4 scourte 1 TABLE DES CARACTÈRES DE S Table des caractères de S Ref Maison Fulton-Harris Théorème On va faire la table des caractères de S et on en déduira que S V ' S Preuve id ? - - T - - ? T - - W - On commence par remplir le caractère tri

TABLE DES CARACTÈRES DE S Table des caractères de S Ref Maison Fulton-Harris Théorème On va faire la table des caractères de S et on en déduira que S V ' S Preuve id ? - - T - - ? T - - W - On commence par remplir le caractère trivial et le signature Ensuite on va trouver une représentation de dimension de manière géométrique à partir du tétraèdre Proposition Soit T un tétraèdre régulier de l ? espace a ?ne euclidien On a l ? isomorphisme de groupe Isom T ' S Preuve Une isométrie même une transformation a ?ne du tétraèdre permute les sommets car ce sont les seuls points extrémaux du tétraèdre et que la notion d ? extrémalité est a ?ne D ? o? le morphisme de groupes Isom T S Ce morphisme est injectif car une transformation a ?ne et a fortiori une isométrie est dé- terminée par l ? image d ? une base a ?ne et les sommets en forment une Il est surjectif car l ? image contient les transpositions que l ? on réalise par les ré exions par rapport aux plans médiateurs aux arêtes C ? est donc un isomorphisme ? Cela fournit une représentation de dimension S O R GL C On va calculer son caractère montrer qu ? il est de longueur et en déduire qu ? il est irréductible On calcule la trace de chaque isométrie ?? Transpositions ce sont des ré exions par rapport aux plans médiateurs déjà vu donc c ? est de trace ?? -cycles ce sont des rotations d ? angle ?? donc de trace cos ?? ?? bitranspositions ce sont des symétries par rapport à des droites donc de trace ?? ?? -cycles on calcule sa matrice dans la base e e e des vecteurs joignant le centre à ?? sommets On trouve ?? A qui est de trace ?? On calcule ?? ?T ?T ? ? ? ?? ? ?? C Donc c ? est bien une représentation irréductible il est légitime de l ? écrire dans la table On en trouve une autre en tordant T par le caractère signature ? ? qui est bien irréductible car on a ? ? T ? ? T ?T ?T D ? après la théorie des caractères il y a autant de caractères irréductibles que de classes de conjugaison et on trouve sa dimension par la formule On calcule X dim W G W irr x C ? est donc une représentation de dimension que l ? on note W On trouve son caractère en utilisant l ? orthogonalité des colonnes On a terminé la table des caractères Petite application On remarque que dans cette représentation le sous-groupe distingué V des bitranspositions agit trivialement En e ?et ce sont des endomorphismes d ? ordre donc de valeur propre et leur trace valant c ? est id Plus généralement ker ? g G ? g ? par le même raisonnement sur les