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Mlr de la loi geometrique au probleme du collectionneur

De la loi géométrique au problème du collectionneur B Meyer Niveau E Bac Di culté Durée h Rubrique s Analyse suites limites Probabilités loi géométrique Au lycée vous avez étudié en probabilité B di érentes lois dont notamment la loi binomiale Dans cet atelier est introduite une autre loi appelée la loi géométrique et étudiée dans le supérieur En particulier gr? ce à cette loi de probabilité vous pourrez résoudre le problème de nombreux collectionneurs La petite histoire Chaque jour on achète un ? uf en chocolat qui contient un jouet à l'intérieur Celui-ci est donc inconnu avant la dégustation de ce chocolat Ce jouet C appartient à une collection d'un nombre xé de jouets Une question naturelle est de savoir combien d'? ufs il faut acheter pour terminer la collection Ce nombre est aléatoire alors on peut se poser une meilleure question après C combien d'achats peut-on espérer avoir ni la collection Monsieur et C Madame Nedujoueur ont un ls portugais On pourra aussi penser à des autocollants sportifs ou à des cartes à jouer attrapez les tous Par la suite nous allons supposer que les jouets sont répartis uniformément dans les ? ufs C'est-à-dire que si on ouvrait tous les ? ufs d'un coup on aurait autant de jouets de chaque sorte Nous supposerons aussi qu'il y a indépendance entre les achats C'est-à-dire que si l'on trouve un certain jouet dans un ? uf cela ne présage en rien le jouet qui se trouvera dans le prochain ? uf que je dégusterai Nous allons voir que même avec cette hypothèse le temps pour Cnir ma collection est assez long Pour répondre à notre question les exercices sont structurés comme suit Les exercices et traitent le cas o? il n'y aurait que jouets à collectionner L'exercice donne une formule pour C calculer le temps moyen pour nir la collection dans le cas d'un nombre général de jouets à Réponse Rui CDe la loi géométrique au problème du collectionneur Mat' les Ressources collectionner Cette exercice nécessite des résultats techniques sur les suites B et les limites dont la démonstration peut être e ectuée à l'aide des exercices C et qui peuvent être omis en première lecture En n les exercices et donnent deux autres applications à cette étude la première est combien faut-il d'amis pour fêter un anniversaire tous les jours et comment optimiser le coût de la collection complète si j'achète directement les jouets qu'il me manque sachant que le prix sera plus élevé que les ? ufs Commençons donc par traiter le cas le plus simple c'est-à-dire le cas o? la collection ne contient que jouets La question qui nous intéresse est B combien d'achats faut-il e ectuer pour avoir de bonnes chances de terminer la collection Ce nombre est aléatoire Faisons donc quelques rappels de probabilités On considère E une expérience aléatoire et l'univers associé que l'on munit d'une probabilité P Une variable aléatoire réelle X est simplement une application qui à tout événement élémentaire de l'univers