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Corrige mat 482007 1 Examen Probabilités Statistiques - MAT MASHS MAGE MI BIM Session Semestre Durée heures Documents interdits Calculatrices interdites Exercice points On lance une pièce de monnaie fois de suite la probabilité d ? obtenir PILE à chaque l

Examen Probabilités Statistiques - MAT MASHS MAGE MI BIM Session Semestre Durée heures Documents interdits Calculatrices interdites Exercice points On lance une pièce de monnaie fois de suite la probabilité d ? obtenir PILE à chaque lancer est p On note X le nombre de PILE apparus et Y le rang du dernier PILE apparu on convient que Y s ? il n ? y en a pas NB ces variables ne sont pas indépendantes Calculer pr X et pr Y Calculer pr X k et Y pour k puis proposer une formule générale pour k Calculer les probabilités pr X Y et pr X Y Calculer la probabilité d ? obtenir PILE pendant les premiers lancers et PILE pendant les derniers sachant que l ? on a en tout PILE NB noter que les lancers qui comportent PILE ont tous la même probabilité Exercice points Dans un lot de composants électroniques chaque composant a la probabilité p d ? être défectueux indépendamment des autres on note X le nombre de composants défectueux i Donner la loi de X ii Calculer la probabilité qu ? il y ait composants défectueux dans le lot et en donner une approximation gr? ce à la loi de Poisson Dans un lot de composants électroniques il y a composants défectueux on prélève sans remise n composants et on note Y le nombre de composants défectueux parmi les n prélevés i Donner la loi de Y lorsque n puis pour n quelconque entre et ii Calculer pr Y dans le cas général et simpli ? er le résultat en explicitant les coe cients binomiaux Lorsque n retrouver ce résultat gr? ce à un arbre de choix Exercice points Un dispositif émet aléatoirement des signaux et on note X t le nombre de signaux émis dans un intervalle de t secondes La loi de X t ne dépend que de la longueur t de l ? intervalle et est donnée par pr X t k e t t k k pour k loi de Poisson de paramètre t Préciser le nombre moyen de signaux par seconde et calculer la probabilité qu ? il y ait au plus deux signaux par seconde On note T le temps d ? attente du premier signal en secondes i Exprimer l ? évènement fT tg à l ? aide de X t puis calculer sa probabil- ité ii Calculer la probabilité pr T t j T t et interpréter le résultat obtenu CExercice points Une urne contient boules rouges boules vertes et boules jaunes On tire avec remise une boule un nombre indéterminé de fois et on note T le rang de la première boule rouge T celui de la première boule verte Donner la loi de T et T et calculer pr T k pr T k un résultat simple est demandé pour ces derniers calculs Calculer pr T k et T k Les variables T et T sont-elles indépendantes Exercice points La variable aléatoire X suit la loi