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Td1 pdf M Pro Ingénierie Mathématique Université d'Angers Université de Nantes TD de régression linéaire simple Année - Exercice EMV et EMC On dispose d'un échantillon de n couples xi yi i n satisfaisant yi ? ? xi i o? l'on suppose que les i i n sont des

M Pro Ingénierie Mathématique Université d'Angers Université de Nantes TD de régression linéaire simple Année - Exercice EMV et EMC On dispose d'un échantillon de n couples xi yi i n satisfaisant yi ? ? xi i o? l'on suppose que les i i n sont des variables aléatoires i i d de loi normale N ? ? inconnue Le but de cet exercice est de comparer la méthode des moindres carrés et la méthode du maximum de vraisemblance dans ce modèle Calculer la vraisemblance de l'échantillon Calculer les estimateurs de ? ? et ? par la méthode du maximum de vraisemblance Calculer les estimateurs de ? ? et ? à l'aide de la méthode des moindres carrés Comparer les résultats obtenus Exercice Modèle de croissance humaine Un père a deux garçons et s'inquiète de la croissance de son cadet qu'il trouve petit Il décide de faire un modèle familial à partir des mesures de taille en fonction de l'age de l'a? né ? ge taille C Représenter les données sur un graphique et justi er l'utilisation d'un modèle de régression linéaire simple Discuter les hypothèses nécessaires E Estimer les coe cients de la régression et tracez sur le graphique la droite de régression estimée Calculer le R et représenter les résidus La régression semble-t'elle valable Pour information les données proviennent des études auxologique du Docteur Sempé dont une partie a été publiée par Abidi et al Ces données mesurées sur des milliers d'enfants de mois à ans ont permis d'établir un modèle de croissance humaine qui fournit les prédictions du carnet de santé Il s'écrit de la manière suivante Y ?? X X x o? représente la taille adulte le temps de grossesse et les couples et permettent de modéliser respectivement la phase de croissance initiale juste après la naissance C la phase de croissance centrale pré-adolescente et la phase nale Exercice Hauteur des arbres Nous souhaitons exprimer la hauteur Y d'un arbre en fonction de son diamètre X à m du sol Pour cela nous avons mesuré couples diamètre-hauteur et les résultats ci-dessous sont disponibles x xi ?? x y i yi ?? y xi ?? x yi ?? y i i C On note Y ? ? X l'estimation de la droite de régression Donner l'expression de ? et ? en fonction des statistiques élémentaires ci-dessus Calculer ? et ? Donner une mesure de qualité d'ajustement des données au modèle Exprimer cette mesure à l'aide des statistiques élémentaires Calculer et commenter Testez H ? ?j ? contre H ? ?j ? pour j Commentez Exercice Natalité en Amérique La tableau suivant contient la liste de pays d'Amérique du Nord et d'Amérique Centrale dont la population dépassait le million d'habitants en Pour chaque pays on mesure le taux de natalité yi nombre de naissances annuel pour habitants ainsi que le taux d'urbanisation xi pourcentage de la population vivant dans des villes de plus de habitants On fait l'hypothèse d'un modèle de regréssion linéaire simple du type yi ?