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Cours relations binaires 1

Christophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI RELATIONS BINAIRES Dans tout ce chapitre E est un ensemble quelconque RELATIONS BINAIRES SUR UN ENSEMBLE ? Les relations sont partout ?? et dans le monde mathématique et dans la vraie vie Nous passons notre temps à comparer des objets à les mettre en rapport les uns avec les autres selon tel ou tel aspect Les phrases suivantes pourtant diverses sont toutes l ? af ?rmation d ? un lien entre deux objets Minou et Matou ont la même couleur de poils ? ? Machin est amoureux de Bidule ? divise ? Pierre est plus ? gé que Paul ? i et ?? i ont le même module ? etc ? De quelle manière pourrions-nous dé ?nir proprement la notion de relation en mathématiques Quel OBJET la relation est-elle sur l ? ensemble Ce qui est sûr c ? est qu ? elle est régie par les relations suivantes et Formellement nous pouvons DÉFINIR la relation comme l ? ensemble des couples x y ?? pour lesquels x y car conna? tre cet ensemble c ? est exactement conna? tre la relation Dans ce cas la relation sur est l ? ensemble Ces remarques préliminaires conduisent à la dé ?nition suivante Dé ?nition Relation binaire sur un ensemble On appelle relation binaire sur E toute partie de E ? E Si est une telle relation la proposition x y ?? lue x est en relation avec y par ? sera notée de préférence x y pour tous x y ?? E et Attention Parce que le couple x y n ? est pas le couple y x la relation x y peut être vraie sans que la relation y x le soit Vous savez sans doute qu ? on peut être amoureux sans être aimé en retour Exemple Vous connaissez depuis toujours certaines relations binaires ?? la relation d ? égalité sur E ?? les relations et sur ?? la relation d ? inclusion ? sur E ?? la relation sur dé ?nie pour toutes fonctions f g ?? par f g ? ?? ??x ?? f x g x ?? la relation de divisibilité sur dé ?nie pour tous m n ?? par m n ? ?? ?? k ?? n km ?? pour tout ?? la relation ?? de congruence modulo sur dé ?nie pour tous x y ?? par x ?? y ? ?? ?? k ?? x y k Dé ?nition Propriétés des relations binaires Soit une relation binaire sur E ? On dit que est ré exive si ??x ?? E x x ? On dit que est transitive si ??x y z ?? E x y et y z ?? x z ? On dit que est symétrique si ??x y ?? E x y ?? y x ? On dit que est antisymétrique si ??x y ?? E x y et y x ?? x y Exemple ? La relation d ? égalité sur E est ré