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Arithmetiques cours Cours et exercices de mathématiques ARITHMETIQUE M CUAZ http mathscyr free fr Introduction L ? arithmétique est la reine des disciplines mathématiques Pourtant bien que maniant des objets et des concepts qui nous paraissent aujourd ? h

Cours et exercices de mathématiques ARITHMETIQUE M CUAZ http mathscyr free fr Introduction L ? arithmétique est la reine des disciplines mathématiques Pourtant bien que maniant des objets et des concepts qui nous paraissent aujourd ? hui simples et familiers les nombres entiers elle développe des théories qui peuvent devenir très complexes et se retrouve dans de nombreuses branches comme la cryptographie les codes secrets etc ? Approche historique de la notion de nombre Il semble que depuis toujours ? les nombres entiers naturels ont existé Cependant ils n ? ont pas toujours été comme nous les concevons aujourd ? hui Une notion intuitive des petits nombres est assez naturelle ainsi les bergers de l ? Antiquité utilisaient des cailloux calculus ? en latin pour faire rentrer le soir autant de moutons qu ? ils en avaient fait sortir le matin Avant d ? aboutir à la conception actuelle des nombres entiers il a fallu d ? abord donner un nom aux nombres aujourd ? hui encore il y a des peuples qui n ? ont pas de nom de nombre les Aborigènes australiens les Andamans puis leur attribuer des notations En ?n la notion de nombre entier prend un sens dans la pratique des opérations élémentaires Toutefois une véritable arithmétique théorique arithmos veut dire nombre en grec ancien o? les nombres sont conçus comme des objets mathématiques abstraits indépendants de leur représentation écrite et des objets comptés ne s ? est constituée que progressivement chez les Babyloniens ème siècle av-JC puis dans la mathématique grecque nombres ?gurés moyennes suites chez les pythagoriciens théorie du PGCD nombres premiers et leur in ?nitude à partir de ans av-JC Les mathématiciens arabes du moyen ? ge ont repris et développé presque tous les problèmes arithmétiques des grecs ? C ? est de l ? Inde que nous viennent les notations actuelles des nombres transmises par les arabes et semble-t-il le zéro ? le mot français chi ?re est une déformation du mot arabe sifr désignant zéro On attribue à Brahmagupta au è siècle l'invention du zéro en fait déjà à l'état latent dans les mathématiques indiennes de l'époque lié à l'usage d'un système décimal positionnel que l'Occident adoptera transmis par les arabes Maures lors de leurs invasions en Andalousie sud de l'Espagne royaume arabe de Grenade califat de Cordoue Brahmagupta énonce même la règle des signes relative à la multiplication ? Et ce n ? est que depuis le ème siècle que la notation dite en chi ?res arabes ? que nous utilisons aujourd ? hui s ? est imposée Ainsi le nombre ne s ? est pas construit en un jour et si l ? arithmétique a encore considérablement progressé depuis le ème siècle son histoire continue Systèmes de numération Deux sortes de systèmes de numération sont les plus couramment employés dans l ? histoire Le système additionnel et le système positionnel Pour chaque système des symboles sont utilisés pour écrire les nombres - Exemples de systèmes additionnels La numération égyptienne