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complements algebre chapitre

Chapitre Compléments d ? algèbre Plan du chapitre Compléments sur les groupes page Intersection de sous-groupes page Sous-groupe engendré par une partie page Dé ?nition page Groupes monogènes groupes cycliques page Sous-groupes du groupe Z page Le groupe Z nZ page Dé ?nition et propriétés du groupe Z nZ page Application aux groupes monogènes page Ordre d ? un élément dans un groupe page Le théorème de Lagrange page Compléments sur les anneaux page Produit ?ni d ? anneaux page Idéal d ? un anneau commutatif page Dé ?nitions et premières propriétés page Idéal principal Anneau principal page Divisibilité dans un anneau commutatif intègre page Idéaux de l ? anneau Z ? page Z ? est un anneau principal page PGCD et PPCM de deux entiers relatifs non nuls page Idéaux de l ? anneau K X ? page K X ? est un anneau principal page PGCD et PPCM de deux polynômes non nuls page Irréductibles de l ? anneau K X ? Décomposition en produit de facteurs irréductibles page Compléments d ? arithmétique l ? anneau Z nZ ? page Dé ?nition de l ? anneau Z nZ ? page Inversibles de l ? anneau Z nZ ? page Intégrité de l ? anneau Z nZ ? page Le théorème chinois page L ? indicatrice d ? Euler page Algèbres page Dé ?nition d ? une algèbre page Sous-algèbres page Morphisme d ? algèbres page ? Jean-Louis Rouget Tous droits réservés http www maths-france fr C Compléments sur les groupes Intersection de sous-groupes On a vu en math sup que si G ? est un groupe une intersection de deux sous-groupes de G est un sous-groupe de G Plus généralement Théorème Soit G ? un groupe Soient I un ensemble non vide d ? indices puis Hi i ??I une famille de sous-groupes de G ? indexée par I Alors Hi est un sous-groupe de G ? i ??I Démonstration Dans cette démonstration on note e l ? élément neutre du groupe G ? et x ?? le symétrique d ? un élément x de G pour ? Soient Hi i ??I une famille de sous-groupe du groupe G ? indexée par I un ensemble non vide d ? indices puis H Hi i ??I ? On sait que pour tout i ?? I e ?? Hi et donc e ?? H ? Soit x y ?? H Pour tout i ?? I x ? y ?? ?? Hi et donc x ? y ?? ?? H On a montré que H est un sous-groupe du groupe G ? Sous-groupe engendré par une partie Dé ?nition Soit G ? un groupe Soit A une partie quelconque de G On va établir le fait qu ? il existe un plus petit sous-groupe de G au sens de l ? inclusion qui contient la partie A Il existe au moins un sous-groupe de G ? contenant A à savoir G lui-même Soit alors H l ? intersection de tous les