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l10 phr101 print Transformations de Fourier ?? Produit de Convolution ?? Applications PHR Conservatoir e National des Arts et Métiers Service de Physique dans ses rapports avec l'industrie PHR Principes et outils pour l'analyse et la mesure Leçon n Transf

Transformations de Fourier ?? Produit de Convolution ?? Applications PHR Conservatoir e National des Arts et Métiers Service de Physique dans ses rapports avec l'industrie PHR Principes et outils pour l'analyse et la mesure Leçon n Transformations de Fourier Produit de Convolution Applications J oseph Fourier ?? C Zerrouki CTransformations de Fourier ?? Produit de Convolution ?? Applications PHR Signi ?cation physique de la transformation de Fourier Pour un signal de mesure quelconque on s'intéresse souvent à son évolution en fonction du temps comme l'indique la ?gure n Figur e Evolution en fonction du temps du signal issu d'un accéléromètre Valeur e ?cace Temps s Accélér ation u a Unité de temps s Valeur s cr êtes Cette représentation temporelle fournit de nombreuses informations dont l ? exploitation directe peut s ? avérer ardue Une autre représentation du signal dans le domaine des fréquences par exemple peut rendre l'interprétation des informations qu'il contient beaucoup plus aisée A cela il faut ajouter que de nombreux phénomènes se situent naturellement dans le domaine des fréquences et non pas dans le domaine temporel ou spatial Pour interpréter un signal auditif le cerveau e ?ectue une analyse dans le domaine des fréquences Dans un tout autre domaine la détection d'un défaut de roulement par exemple peut être réalisée par une analyse de son spectre de fréquences Dernier exemple l'étude des résonances d'une structure mécanique passe également par une analyse en fréquences Ces deux représentations temps et fréquence sont reliées entre elles par une transfor mation dite de Fourier outil d'une importance capitale dans les techniques d'analyse du signal et dans l'explication de nombreux phénomènes physiques chimiques et biologiques Considérons un signal électrique y t par exemple tension intensité du courant etc dépendant du temps faire l'analyse de Fourier dans le domaine des fr équences consiste à e ?ectuer sur ce signal y t une opération mathématique du genre ò y t e-jwt dt - avec y t signal déterministe ou aléatoire temporel C Zerrouki CTransformations de Fourier ?? Produit de Convolution ?? Applications PHR w pulsation en rd s- liée à la fréquence n w p n On obtiendra après intégration une fonction Y w qui ne dépendra plus du temps mais de la pulsation w Y w est proportionnelle à la transfor mée de Fourier de y t Il est fondamental de bien comprendre que Y w et y t sont deux représentations di ?érentes d ? une même grandeur physique Si l'on considère y t le point représentatif de l'amplitude de ce signal se déplace dans l'espace amplitudetemps Si l'on considère Y w le point représentatif se déplace dans l'espace amplitudepulsation fr équence Lorsqu'on cherche la valeur Y w pour une valeur de wo cela signi ?e que l'on cherche dans toute l'histoire et tout le futur de y t ce qui correspond à la fréquence wo Ceci correspond à un ?ltrage in ?niment sélectif Un tel ?ltrage n'est pas réalisable physiquement Donc on ne peut pas conna? tre Y w avec