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Departement de mathematiques et de statistique faculte des arts et des sciences universite de montreal 1

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE STATISTIQUE FACULTÉ DES ARTS ET DES SCIENCES ?? UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL SIGLE DU COURS TITRE DU COURS NOM DES PROFESSEURS DATE DE L ? EXAMEN MAT Algèbre Yvan Saint-Aubin Colin Jau ?ret Le décembre de h à h ?? Final DIRECTIVES PÉDAGOGIQUES ? Pas documentation pas calculatrice ? L ? examen est sur il compte pour du cours ? Vous répondez à même ce questionnaire Utilisez le recto et le verso au besoin ? Toutes les réponses doivent être justi ?ées rigoureusement NOM et PRÉNOM NUMÉRO D ? IDENTIFICATION Page de C Soit G un groupe ?ni abélien Considérer le morphisme G ?G g ? g a Montrer que est un morphisme de groupe b Un carré dans G est un élément g ?? G qui s ? écrit comme g h pour un h ?? G Montrer que le nombre de carrés dans G est égal à l ? index G ker Page de C Un groupe G est dit métabélien s ? il contient un sous-groupe normal A G tel que A et G A sont tous les deux abéliens Soit G un groupe métabélien et K G un sous-groupe normal Cette question vise à démontrer que le quotient G K est aussi métabélien Soit A G un sous-groupe comme dans la dé ?nition c ? est-à-dire tel que A et G A sont tous les deux abéliens a Montrer que le produit AK des sous-groupes A G et K G est un sous-groupe normal de G b Montrer que AK K A A ?? K et conclure que AK K G K est abélien c Montrer que G K AK K G A AK K et conclure que G K AK K est abélien d Conclure que G K est métabélien Page de C Soit G un groupe d ? ordre qui agit sur lui-même par conjugaison On considère son équation de classes G O orbites O Dites pourquoi chacune des équations de classes suivantes est impossible a b c d considérer la cardinalité du centre e considérer la cardinalité du quotient G Z G Page de C Soit En n et soit E k n l ? ensemble des sous- ensembles de En de exactement k éléments Par exemple E On dé ?nit une action de Sn sur E k n en posant pour une permutation ? ?? Sn et un sousensemble A a ak ?? E k n que ? A ? A ou plus explicitement que ? a ak ? a ? ak a Véri ?er qu ? il s ? agit d ? une Sn-action sur E k n b Quelle est l ? orbite de k Justi ?er c Quel est le stabilisateur de k Justi ?er d Conclure que E k n n k n ??k Page de C Montrer que pour n le groupe diédral Dn r s rn s srs r ?? est isomorphe à un produit semidirect de ses sous-groupes Dn r s