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Bertault c geometrie euclidienne du plan et de l x27 espace

c Christophe Bertault - MPSI Géométrie euclidienne du plan et de l ? espace Dans tout ce chapitre on travaille uniquement avec le corps de base R et E est un espace euclidien orienté Les lettres n p q désignent des entiers naturels non nuls Lemme Soit A ?? Mn p R On suppose que ??X ?? Rn ??Y ?? Rp tXAY Alors A Démonstration Soit i j ?? n ? p Notons Xi la colonne de taille n dont tous les coe ?cients sont nuls à l ? exception du ième égal à et Yj la colonne de taille p dont tous les coe ?cients sont nuls à l ? exception du jème égal à Alors tXiAYj aij Ainsi A comme voulu Automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales Automorphismes orthogonaux Dé ?nition Automorphisme orthogonal isométrie vectorielle Soit f E ?? ? E une application Les assertions suivantes sont équivalentes i f préserve les produits scalaires ??x y ?? E f x f ? y x y ii f est linéaire et préserve les normes ??x y ?? E f x x De plus si l ? une de ces deux assertions est vraie f est un automorphisme de E On dit alors que f est un automorphisme orthogonal de E ou une isométrie vectorielle de E Explication ? L ? équivalence des assertions i et ii est conceptuellement puissante le seul fait qu ? une application non nécessairement linéaire a priori préserve les produits scalaires la rend automatiquement linéaire ? Une isométrie vectorielle comme son nom l ? indique est une transformation géométrique qui préserve iso- ? même identique les normes -métrie ? mesure Démonstration i ?? ii D ? abord f préserve les normes car pour tout x ?? E f x ? f x f ? x Ô x x x Montrons ensuite de E Puisque f que f est linéaire Notons n la préserve les pr ?oduits scalaires adloimrsenfsi oeni d fe eEj e ?t e e ei ej en ?ij une base orthonormale pour tous i j ?? n et donc f e f e f en est aussi une base orthonormale de E Du coup soit x ?? E On a alors n f x f x f ek ? f ek n x ek f ek Cette expression montre bien la linéarité de f le produit k k scalaire étant linéaire par rapport à chacune de ses variables ii ?? i Montrons que f préserve les produits scalaires Soient x y ?? E Utilisons les identités de polarisa- tion notées ci-dessous f x f ? y f x f y ?? f x ?? f y liné arité f x y ?? f x ?? f y ii x y ?? x ?? y x y Et voilà Pour ?nir montrons que sous réserve que l ? une des assertions i ou ii est vraie f est un automorphisme de x E Cfo mxm e E est E de dimension ?nie il nous su