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Calcul vectoriel CPGE ATS Compléments mathématiques Calcul vectoriel Relation de Chasles Soient A B B trois points quelconques de l ? espace AB AB B B Barycentre d ? un ensemble de points Une famille de points pondérés est un point et le second i est un r

CPGE ATS Compléments mathématiques Calcul vectoriel Relation de Chasles Soient A B B trois points quelconques de l ? espace AB AB B B Barycentre d ? un ensemble de points Une famille de points pondérés est un point et le second i est un réel uapnpee aémpioll ieds B o u c o e f fBic ie nt a f ? fe c tBé nau pno indte couples dont le premier élément Bi est On peut dé ?nir le barycentre de la famille B B ? Bn n de points pondérés avec n ?? par l ? égalité GB GB n GBn Pour tout point M de l ? espace on a alors en utilisant la relation de Chasles MB MB n MBn n MG Si tous les poids i sont égaux le point G est appelé isobarycentre de la famille B B ? Bn Produit scalaire de deux vecteurs Dé ?nitions Expressions du produit scalaire Soient deux vecteurs V AB et V AB de composantes respectives X Y Z et X Y Z relativement au repère cartésien Ox Oy Oz de base orthonormée O i j k V X i Y j Z k et V X i Y j Z k On note l ? angle entre V et V Le produit scalaire V V est dé ?ni par V V V V cos o? V désigne la no rme du vecteur V V V X X Y Y Z Z av ec i i j j k k et i j j k k i Nor me d ? un vecteur V V V donc V V V Vecteur unitaire En faisant intervenir le vecteur unitaire u le vecteur V de composantes X Y Z s ? écrit V Xi Y j Zk V u V X Y Z Il en résulte u i j k V X Y Z X Y Z Commutativité X Y Z Le produit scalaire est commutatif distributif et associatif par rapport à la somme vectorielle et au produit par un scal aire ? V V V V V V V V V V V V V V V V V ?V V V ?V ? V V Jean-Philippe LUCE ATS Rempart Marseille page CCPGE ATS Compléments mathématiques Applications Orthogonalité V ? V ?? V V Projection F F F EEF EF ? ? V V F F F FBF FA ? La projection V ? du ve cteur V sur l ? axe ? de vecteur unitaire u ? a pour expression V ? HK V cos soit V ? V u ? Calcul de longueur Déterminons la longueur du côté B B du triangle AB B B B B A A B V ?? V d ? o? B B V ?? V V V ?? V V B B AB AB ?? AB AB cos C ? est le résultat du théorème d ? Al- Kashi Produit vectoriel de deux vecteurs Expressions du produit vectoriel Soient deux vecteurs