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Centrale supelec mp 2002 maths 1 epreuve

Mathématiques I Mathématiques I Filière MP Préliminaires et objectif du problème On rappelle que IN ? IN et que ZZ ? ZZ Pour tout entier n ?? IN on note CI n X le sous-espace vectoriel de CI X constitué par les polynômes à coef ?cients complexes de degré inférieur ou égal à n On munit l ? algèbre C ?? CI des fonctions à valeurs complexes continues sur le segment ?? de la norme ? de la convergence uniforme dé ?nie par ??f ?? C ?? CI f ? sup x ?? ?? f x Tout polynôme de CI X est identi ?é à la fonction polynomiale qu ? il induit sur ?? Soit ?n n ?? IN une suite de réels positifs ? On dit que cette suite ?n n ?? IN est à décroissance rapide si pour tout entier k ?? IN elle est dominée par la suite n ??k n ?? IN ? c ? est-à-dire si ??k ?? IN ??Mk ?? IR ??n ?? IN ? ?n ? -M- n----k-k- On note E ? l ? ensemble des fonctions f ?? C ?? CI pour lesquelles il existe une suite Qn n ?? IN de polynômes telle que ? ??n ?? IN Qn ?? CI n X ? la suite f ?? Qn ? n ?? IN est à décroissance rapide ? On dit que cette suite ?n n ?? IN est à décroissance exponentielle si pour un certain réel r ?? elle est dominée par la suite géométrique rn n ?? IN c ? est-à- dire si ??r ?? ??M ?? IR ??n ?? IN ?n ? Mrn On note Eexp l ? ensemble des fonctions f ?? C ?? CI pour lesquelles il existe une suite Qn n ?? IN de polynômes telle que ? ??n ?? IN Qn ?? CI n X ? la suite f ?? Qn ? n ?? IN est à décroissance exponentielle Concours Centrale-Supélec CMathématiques I Filière MP Filière MP Remarque Une suite à décroissance rapide resp exponentielle converge vers mais n ? est pas forcément décroissante L ? objectif du problème est de montrer en utilisant les propriétés des polynômes de Tchebychev établies en Partie tement les fonctions de classe I que les C ? sur fonctions de ?? et de l ? ensemble E ? sont relier les fonctions exacf de l ? ensemble Eexp aux fonctions f dont la série de Taylor ? n ? -f--- --n-n-- -- --a----- x ?? a n en tout point a ?? ?? converge vers f x sur un voisinage de a a Véri ?er que si une suite est à décroissance exponentielle alors elle est à décroissance rapide b Véri ?er que les ensembles E ? et Eexp sont des sous-espaces vectoriels de C ?? CI Quelle relation d ? inclusion existe-t-il entre ces deux sous- espaces c i Soit f une fonction de classe C ? sur ?? dont toutes les dérivées sont bornées sur ?? par