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Chapitre 1 analse spectrale 2009 2010

UE-FGI-LIC- Université de Douala Faculté de Génie Industriel Analyse Spectrale Année académique - Patrick NJIONOU S pnjionou yahoo fr CChapitre Transformation de Fourier des Fonctions et des distributions Soit f une fonction ou un signal périodique de fériode T Joseph Fourier mathématicien français a ?rma dans un mémoire daté de qu ? il était possible dans certaines conditions de décomposer un signal périodidue f sous la forme d ? une somme in ?nie de signaux sinuso? daux Ainsi on a dans certaine conditions par exemple si f est de classe C par morceaux ? ? f t a an cos n ?t bn sin n ?t ? T n On peut donc considérer f comme la somme ?? d ? un terme constant a ?? d ? un nombre in ?ni de termes sinuso? daux appelés harmoniques L ? harmonique de rang n est un t An cos n ?t bn sin n ?t On peut encore l ? écrire sous la forme un t An cos n ?t ?? n avec An an b n et tan n bn an si an An représente l ? amplitude ? n ? la période n la phase et n ? ? la fréquence Remarque Si on utilise les coe ?cients de Fourier complexes on obtient alors une décomposition ? f t cnein ?t n ?? ? avec cn coe ?cient de Fourier complexes de f CNjionou P S Université de Douala Pour une fonction périodique f on obtient une relation de la forme ? f t cnein ?t n ?? ? qui peut être interpretée comme la décomposition du signa f sur la famille de fonctions ein ?t n ??Z jouant un rôle analogue à celui d ? une base Pour une fonction f qui n ? est pas périodique il est évidemment exclu d ? utiliser la relation On introduit alors une nouvelle notion la transformée de Fourier Dé ?nitions et propriétés Dé ?nition On note L R l ? ensemble des fonctions dé ?nies de R dans R continues par morceaux et telles que ? f t dt existe ?? ? Exemple La fonction f t t est un élément de L R On a en e ?et ? ?? ? f t dt lim x ? ? arctan x ? Dé ?nition C telle que Soit f ?? L R on appelle transformée de Fourier de f la fonction F f R ? ? F f s e ?? ?istf t dt ?? ? L ? application F f ? F f est appelée transformation de Fourier La courbe d ? équation y s F f s est appelée spectre de f Remarque ??s ?? R e ?? ?istf t f t dons la fonction F f est dé ?nie et bornée sur R On admettra que F f est continue sur R On démontre que lim F f s s ? ? Proposition Si f est paire alors F f s ? f t cos ?st dt