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Chapitre 2 processus stochastique

Chapitre Processus stochastique Les processus aléatoires ou stochastiques ont été conçus pour Modéliser l ? évolution des phénomènes et des systèmes aléatoires Dans le temps Ils sont décrits par une famille de variables Aléatoires indicée par le temps Ces variables peuvent être discrètes ou continues Exemples -Arrivées d ? appels à un central téléphonique - Arrivées de clients à un guichet - Arrivées de voitures à un guichet d ? autoroute CDé ?nition d ? un processus stochastique Un processus aléatoire est une famille de variables indexé par l ? ensemble T des temps dénombrables ?ni ou continu Lorsque Prend un ensemble ?ni de valeurs on parle de Processus d ? espace d ? état discret Si au contraire les valeurs appartiennent à un espace continu on parle de processus à espace d ? état continu Exemples -Processus de poisson - Processus Markovien - Processus AR MA ARIMA ? C - Processus de Poisson Exemple Nombre de voitures contrôlées à un guichet d ? autoroute Soit La variable aléatoire désignant le nombre de voitures Contrôlées à un guichet d ? autoroute pendant l ? intervalle du Temps T Nt- Ns est une variable aléatoire qui désigne le nombre de Voitures contrôlées au guichet pendant l ? intervalle du Temps s t Le processus de poisson est un processus de comptage qui Doit véri ?er certaines propriétés CDé ?nitions Remarque le processus est à accroissements indépendants Signi ?e que le nombre d ? arrivées dans tout intervalle de temps de longueur égale à t est indépendant du nombre D ? arrivées en dehors de cet intervalle donc les intervalles De temps sont disjoints CDé ?nition Un processus de comptage véri ?e l ? hypothèse Des événements rares si pour tout accroissement Du temps on a On déduit de et CExplication de la première condition CDe paramètre Le processus démarrant à l ? instant t avec Théorème l ? intensité d ? un processus de poisson est dé ?nie Comme étant le nombre moyen d ? arrivées par unité de Temps est égale à CDans un processus de Poisson d ? intensité les temps entre Deux arrivées consécutives appelées temps d ? inter-arrivée sont indépendantes et de loi exponentielle de paramètre Si le nombre d ? arrivées dans l ? intervalle de temps t Est i alors Nt i Le temps avant l ? arrivée du Prochain événement est de loi exponentielle de Paramètre Exemple Le processus de comptage des voitures contrôlées à un Guichet d ? autoroute durant un intervalle de temps donné CO? l ? intensité est constante est un processus de Poisson Supposons que le nombre de voitures franchissant un péage Donné est décrit par un processus de poisson de paramètre voitures par heure Le nombre aléatoire De véhicules franchissant le péage en une minute est décrit Par la variable aléatoire de poisson De loi CExercice - Temps séparant deux événements successifs Loi de la durée séparant deux événements successifs On s ? intéresse maintenant à la durée séparant