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Corrige rfs1 l3 2018 2019 Université Dr Yahia Fares Medea Module Introduction à l ? analyse Hilbertienne L Mathématique Année universitaire - Corrigé de l ? EFS Exercice H l N R x xk k R P jxkj muni du produit scalaire hx yi P k xkyk Soit ' H R l ? applic

Université Dr Yahia Fares Medea Module Introduction à l ? analyse Hilbertienne L Mathématique Année universitaire - Corrigé de l ? EFS Exercice H l N R x xk k R P jxkj muni du produit scalaire hx yi P k xkyk Soit ' H R l ? application dé ? nit pour tout x H par k X ' x k x k k avec x xk k ' est une forme linéaire continue Linéarité Soient x y H et R X X ' x y k x k y k k x k k k Continuité Soit x H j' x j X k x k k X k y k ' x ' y k X k k X x k k X x k k kxk D ? o? ' est continue La détermination du vecteur u tel que pour tout x H on a ' x hx ui on pose u un n u u x H ' x hx ui x H X k x k P xk uk k k par identi ? cation on obtient u k u k k i e u avec kuk théorème de Riesz on a k'k kuk X E x H e k x k d ? aprés le k a E est un sous espace fermé E fx H ' x g ' f g ker ' E est l ? image réciproque d ? un fermé par une application linéaire continue donc il est fermé b Détermination de E D ? aprés le théorème de Riesz en remplaçant ' x par hx ui alors on obtient E fug d ? o? E fug vect fug f u Rg c x xk k H on calcule d x E on note pr x la projection orthogonale de x sur E on a x pr x E donc il peut s ? écrire comme x pr x u on compose à droite par u on obtient hx pr x ui h u ui hx ui hpr x ui kuk et comme pr x E alors hpr x ui d ? o? hx ui kuk on déduit que x pr x hx ui kuk u maintenant on va prendre la norme de chaque membre on obtient Cd x E kx pr x k jhx uij kuk j ' x j Exercice H l N R x xk k R P jxkj muni du produit scalaire hx yi P k xkyk k T x x x x x x xn n T est un operateur linéaire borné et que kT k Linéarité Soient x y H et R T x y x y x y x y x y x x x x y y y y T x T y Continuité Soit x H kT xk X x k x k k X x k kxk k d ? o? T est continu avec kT k On prend u kT k kT uk k k do? kT k