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Corrige td4 1 MDI Statistiques Corrigé Feuille de travaux dirigés Solution Exercice Dans cet exercice ? sont des hyper- paramètres ? et supposés connus à l ? avance L ? espace des paramètres est R Pour déterminer la loi a posteriori on utilise la formule

MDI Statistiques Corrigé Feuille de travaux dirigés Solution Exercice Dans cet exercice ? sont des hyper- paramètres ? et supposés connus à l ? avance L ? espace des paramètres est R Pour déterminer la loi a posteriori on utilise la formule de la distribution a pos- teriori ? X x ? p x mX x o? mX x est la marginale de X en x et joue uniquement le rôle d ? un facteur de normalisation pour ? x fonction de On voit ? alors que x suit une loi gaussienne Nous calculons donc sa densité à une constante multiplicative une quantité ne dépendant pas de près Dans toute la suite la notation ? x ? g signi ?e ?? ? ?? ? x ?g ? o? ? peut dépendre de x mais pas de La constante ? est une constante de normalisation qui pourrait être calculée explicitement gr? ce au fait que ? x d mais dont on n ? a pas besoin dans notre cas pour identi ?er la loi a posteriori ? x ? ? p x ? e e ?? ?? ?? ??x ? ? e ?? ? ?? x ? ? e ?? ? ? ?? ? x ? On identi ?e l ? espérance et la variance de la loi gr? ce à la relation de proportionnalité e ?? ??m v ? e ?? v ?? m et on obtient x ?? N ? x ? ? ? Si on désire faire tous les calculs y compris celui de la marginale on peut utiliser l ? identité suivante ? e ??ax bx c dx ?? ? ? e b a c a Puisque l ? échantillon est i i d Y suit une loi produit Le modèle bayésien pour Y est donc F F F F ?? N F F Y ?? N ? ? n Pour déterminer la loi a posteriori on utilise la formule de la distribution a poste- riori ? y ? p y mY y o? mY est la marginale de Y À une constante près cela ?? ?? CMDI Statistiques donne ? y ? ? p y ? e e ?? ?? ?? n i ??xi ? ? e ?? n ? ?? i xi ? ? e ?? n ? ? ?? ? n ? i xi On reconna? t une loi gaussienne y ?? N ? n ? i xi ? n ? Pour étudier le comportement lorsque n ? ? on réécrit l ? espérance et la variance de la loi en introduisant la moyenne des xi x n n i xi y ?? N ? n x n ? ? n ? Lorsque n ? ? E y ?? n x n x ? E X et Var y ?? ? n ? n ? Solution Exercice L ? espace des paramètres est Le modèle statistique est P B ?? o? B est une loi de Bernoulli de paramètre Ici on dé ?nit un