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Cours espaces prehilbertiens reels pdf

Christophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS Dans ce chapitre on travaille seulement avec le corps de base PRODUIT SCALAIRE ET NORME Dé ?nition Produit scalaire espace préhilbertien réel espace euclidien ? Soit E un -espace vectoriel On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique dé ?nie positive i e toute application E ? E ?? ? ?? bilinéaire ?? symétrique ??x y z ?? E ?? ? ?? ?x y z ? x z y z ??x y ?? E y x x y et x ? y z ? x y x z ?? dé ?nie ?? positive ??x ?? E ??x ?? E x x ?? x E x x propriété de séparation Le produit scalaire x y est aussi parfois noté x y ou x y ? Un espace vectoriel réel muni d ? un produit scalaire est appelé un espace préhilbertien réel Un espace préhilbertien réel DE DIMENSION FINIE est appelé un espace euclidien Explication Dé ?nition déroutante Nous n ? avons à ce stade encore jamais parlé en algèbre linéaire d ? angles et de normes Mine de rien nous sommes donc en train de dé ?nir le concept de produit scalaire indépendamment de toute relation du type ?? ?u ?? ?v ?? ?u ?? ?v cos ?? ?u ?? ?v En réalité dans la théorie que nous nous apprêtons à développer le produit scalaire est premier et ce sont les notions de norme et d ? angle qui viennent après En pratique Pour montrer la bilinéarité d ? un produit scalaire potentiel la linéarité par rapport à une variable seulement est suf ?sante si on a pris la peine de démontrer la symétrie avant Petite remarque au passage x E E x pour tout x ?? E par bilinéarité du produit scalaire Dé ?nition-théorème Produit scalaire canonique sur scalaire sur n appelé son produit scalaire canonique n n L ? application X Y ?? ? tX Y xk yk est un produit k Explication Ouf nous retrouvons bien ici les produits scalaires auxquels nous sommes habitués dans le plan et l ? espace Par exemple pour tous vecteurs ?? ?u x y et ?? ?u ?? x ?? y ?? de ?? ?u ?? ?u ?? x x ?? y y ?? Démonstration n n ? Symétrie Pour tous X Y ?? n tX Y xk yk yk xk tY X k k ? Bilinéarité Par symétrie la linéarité par rapport à la deuxième variable suf ?t Pour tous X Y Z ?? n et ? ?? par bilinéarité du produit matriciel tX ?Y Z ? tX Y tX Z n n ? Positivité et séparation Pour tout X ?? n tX X x k et si tXX x k alors k k xk pour tout k ?? n i e X CChristophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI Exemple Il peut exister beaucoup produits scalaires sur un même espace vectoriel L ? application X Y ?? ? tX Y