Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Cours tenseurs D Quelques éléments sur les tenseurs en mécanique des uides F Moisy septembre Dans un certain nombre de domaines de la physique il est nécessaire d'introduire l'outil mathématique des tenseurs C'est le cas notamment pour les milieux continu

D Quelques éléments sur les tenseurs en mécanique des uides F Moisy septembre Dans un certain nombre de domaines de la physique il est nécessaire d'introduire l'outil mathématique des tenseurs C'est le cas notamment pour les milieux continus et notamment en mécanique des D D uides En mécanique des uides savoir manipuler les tenseurs est facultatif jusqu'à un certain point et l'on s'en passerait volontier Mais même pour démontrer certains résultats comme l'équation de Navier-Stokes ou bien D pour manipuler les grandeurs associées aux uctuations de vitesse en turbulence leur utilisation s'avère indispensable Savoir manipuler les tenseurs demande un peu d'entrainement Mais c'est un investissement qui peut s'avérer très utile ils permettent par exemple de retrouver des relations d'analyse vectorielle du type ?? ?? ?? ??A ?? ?? A ?? ?? A uniquement par quelques manipulations élémentaires L'objectif de cette introduction n'est pas de devenir un expert en algèbre tensorielle mais simplement d'acquérir C le minimum d'aisance a n de manipuler ces quantités dans le cadre d'un D cours de mécanique des uides Notons que même si le concept B mathématique de tenseur est évidemment le même dans les di érents domaines de la physique o? ils interviennent relativité mécanique des Duides des solides etc les usages et les conventions de notation peuvent B di érer notablement d'un domaine à l'autre Les concepts introduits ici sont donc généraux mais les notations et les illustrations concrètes sont issues de D la mécanique des uides uniquement Qu'est-ce qu'un tenseur Qu'est- ce qu'un vecteur Toute collection de nombres forme-t-elle un vecteur La B D réponse est non En e et un vecteur u comme la vitesse du uide doit être indépendante de la base de projection choisie x y z Si l'on choisit une autre base x y z les valeurs des composantes ux uy uz changeront évidemment mais la vitesse u elle-même sera invariante Par exemple la C norme de la vitesse u ne sera pas modi ée elle ne dépend pas de la base de projection choisie Ainsi l'objet mathématique exotique x z y ??x n'est pas un vecteur car cet objet ne sera plus le même lors d'un changement de B base la norme de cet objet par exemple sera di érente dans une autre base Ainsi pour qu'une collection de nombres puisse s'appeler vecteur il faut que lors d'un changement de base ces nombres se transforment selon la règle classique u P ?? u o? P est la matrice de passage de l'ancienne vers la nouvelle base Cette règle de transformation assure l'invariance des quantités physiques comme la norme du vecteur Cette notion d'invariance se généralise à des objets plus compliqués les tenseurs On peut d'ailleurs C dé nir mathématiquement les tenseurs comme les objets restant invariants par Cchangement de base Mais nous allons aborder dans la suite la manipulation des tenseurs d'un point de vue pratique uniquement C Dé nition d'un tenseur On se place dans un espace de dimension d avec en général d ou d On