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Devoir maison 1 correction

Correction Devoir Maison No MPSI Exercice No Nous avons le résultat de cours suivant non P ?? Q ?? P et non Q Il se démontre à l ? aide de la table de vérité suivante P Q non Q P ?? Q non P ?? Q P et non Q VV F V F F VF V F V V FV F V F F FF V V F F Exercice No On a n n ??k n n ?? k n n p np ? k p ?? k k n ?? k p ?? k n ?? p k p ?? k n ?? p k p ?? k p n ?? p p k Ainsi par la formule du binôme de Newton pn k k n ??k pn p ??k p k p np k p k p n p k p Soient p n on a pn k k n ?? k p n p ??k p Exercice No On prouve par récurrence que pour tout n ?? N n ??p q k n ?? k n P n ? ?? q p n ? q p ??q p k q ?? Pour n on a p q et la formule demandée est vraie P est vraie ?? On suppose donné n ?? N tel que P n soit vraie Démontrons P n c ? est-à-dire n ??p q k q k q n ??k n p ??q p Soient q p n Si p n la formule demandée est vraie Si p q alors par hypothèse de récurrence n k n nk n n n p p p p p p k p k p CEt la formule demandée est vraie On suppose donc q p n Par la formule de Pascal on a n ??p q k q k q n ??k p ??q n ?? p q n ??p q k p ??q q k q n ??k p ??q n ?? p q n ??p q k p ??q q k q n ??k n ??p q k p ??q q k q n ??p q k q k q n ?? p ?? q n ??k k p ??q q k q n ??k p ?? ??q Par hypothèse de récurrence on en déduit n ??p q k q k q n ??k n n n p ??q p p p Récurrence achevée Pour tous q p n on a n ??p q k q k q n ??k n p ??q p Exercice No Soit n ?? N Par télescopage on a n n ?? ?? k k k k n k k Ainsi n k k ?? n k Exercice No En posant i n ?? k on obtient que n n ?? k n k i n n ??i k n ??k n n n k i n k On montre alors par récurrence que pour tout n ?? N n k ??k n k ?? La