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Fourier Complément sur la transformée de Fourier et la transformée de Fourier discrète préparé par Nicolas Bélanger Département de Physique Université Laval Juillet CTable des matières Introduction Série de Fourier Série de Fourier réelle Série de Fourier

Complément sur la transformée de Fourier et la transformée de Fourier discrète préparé par Nicolas Bélanger Département de Physique Université Laval Juillet CTable des matières Introduction Série de Fourier Série de Fourier réelle Série de Fourier complexe Orthogonalité sur un nombre ?ni de points introduction à la transformée de Fourier discrète Transformée de Fourier Transformées intégrales De la série à la transformée de Fourier Propriétés de la transformée de Fourier Introduction et relations de symétrie Propriétés intrinsèques de la transformée de Fourier Transformée de Fourier d ? une dérivée Transformée de Fourier du produit de la convolution et de la corrélation de deux fonctions Transformée de Fourier du produit scalaire de deux fonctions le théorème de Parseval Causalité Applications de la transformée de Fourier Propagation d ? une impulsion gaussienne Signal tronqué utilisation d ? une fenêtre Détection par un appareil de faible résolution Mesure d ? une fonction de transfert réponse Train in ?ni d ? impulsions brèves et périodisation ? Transformée de Fourier discrète Discrétisation de la transformée de Fourier par un appareil de mesure Approche intuitive Approche par peignes de Dirac Pièges inhérents à l ? utilisation de la transformée de Fourier discrète Rappel Les caprices de l ? algorithme de la FFT ? Résolution et manipulation de fenêtres Bibliographie CIntroduction Ce complément a pour but de faire un rappel des séries et transformées de Fourier vues dans le cours de Physique-Mathématique III mais surtout de vous présenter les transformées de Fourier discrètes qui sont très utiles en physique comme en génie Des séries de Fourier vous avez déjà vu comment décomposer une fonction périodique en une somme in ?nie de sinus et cosinus ainsi que la plupart de leurs propriétés Nous réviserons sommairement ces quelques aspects et insisterons sur la variante complexe des séries de Fourier Quant aux transformées de Fourier on étudiera davantage leurs propriétés mais également leur utilité outre la simple résolution d ? équations aux dérivées partielles comme ce fut le cas en Physique-Mathématique III La transformée de Fourier étant une transformée intégrale numériquement on doit se contenter d ? une sommation d ? o? l ? intérêt d ? introduire la transformée de Fourier discrète Aussi les appareils de mesure peuvent induire des déformations au signal qui peuvent êtres mieux comprises via la transformée de Fourier et en particulier par la transformée de Fourier discrète En e ?et l ? impact de l ? échantillonnage d ? un signal par un appareil de mesure s ? apparente à celui de passer de la transformée de Fourier intégrale à la transformée de Fourier discrète Nous y reviendrons vers la ?n de ce complément Quoique ce complément contienne l ? essentiel de ce qui vous sera utile à court moyen et même long terme un lecteur assailli par une crise aigu? de curiosité pourra se référer à un des ouvrages cités à la bibliographie ou tout autre ouvrage sur le sujet disponible à la bibliothèque En général nous préciserons quelle référence consulter tout particulièrement