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Mat331 colmez poly 07 Pierre COLMEZ ÉLÉMENTS D ? ANALYSE ET D ? ALGÈBRE CPierre COLMEZ C M L S École Polytechnique Palaiseau Cedex France CÉLÉMENTS D ? ANALYSE ET D ? ALGÈBRE Pierre COLMEZ C CTABLE DES MATIÈRES Introduction Notations standard Bibliographi

Pierre COLMEZ ÉLÉMENTS D ? ANALYSE ET D ? ALGÈBRE CPierre COLMEZ C M L S École Polytechnique Palaiseau Cedex France CÉLÉMENTS D ? ANALYSE ET D ? ALGÈBRE Pierre COLMEZ C CTABLE DES MATIÈRES Introduction Notations standard Bibliographie sommaire Vocabulaire Mathématique Grammaire élémentaire L ? anneau Z des entiers relatifs Parallélisme entre logique élémentaire et langage ensembliste Ensembles dénombrables Produits sommes et quotients Produits et sommes Produits et sommes directes de groupes commutatifs Le cas des espaces vectoriels Produit et somme dans une catégorie Relations d ? équivalence Relations d ? équivalence et partitions Passage au quotient par une relation d ? équivalence L ? anneau Z DZ des entiers relatifs modulo D Quotients d ? espaces vectoriels Anneaux quotients Groupes quotients Groupe opérant sur un ensemble Classes de conjugaison Quotients de groupes Construction de nombres Entiers naturels Cvi TABLE DES MATIÈRES Entiers relatifs nombres rationnels Nombres réels nombres complexes Nombres p-adiques Le corps Qp L ? anneau Zp des entiers p-adiques L ? anneau des nombres complexes p-adiques Groupes ?nis Généralités sur les groupes Groupes cycliques Structure des groupes cycliques ordre d ? un élément Sous-groupes des groupes cycliques Groupes abéliens ?nis Le théorème de Lagrange et ses variantes Le groupe symétrique Sn Permutations Signature d ? une permutation Groupe alterné Les théorèmes de Sylow Algèbre linéaire Généralités Endomorphismes Le théorème de Cayley-Hamilton Automorphismes Matrices Espaces propres espaces caractéristiques Mise sous forme de Jordan Modules de torsion sur K T et réduction des endomorphismes Anneaux et modules Structure des modules de torsion sur K T Exemples Application à la réduction des endomorphismes Modules de torsion sur les anneaux principaux Généralités sur les idéaux Anneaux principaux Structure des modules de torsion sur un anneau principal Topologie CTABLE DES MATIÈRES vii Espaces topologiques Ouverts fermés voisinages Exemples Comparaison de topologies Espaces métriques Continuité Sous-espaces produits quotients Topologie induite Topologie produit Topologie quotient Espaces séparés Intérieur adhérence densité Suites dans un espace topologique Suites suites extraites Suites et continuité Compacité Espaces compacts Compacité et suites Propriétés de base des compacts Compacts d ? un espace topologique Compacts d ? un espace métrique La droite réelle achevée Les espaces topologiques ordonnés R et R Limite supérieure limite inférieure L ? espace topologique R Z Connexité Ensembles connexes Connexité par arcs Complétude Suites de Cauchy Principales propriétés des espaces complets Complétion d ? un espace métrique Convergence de fonctions Convergence simple Convergence uniforme Espaces vectoriels normés Cviii TABLE DES MATIÈRES Normes et applications linéaires continues La norme d ? un opérateur Normes équivalentes La boule unité d ? un espace vectoriel normé Applications bilinéaires continues Tératologie Fonctions continues dérivables nulle part L ? escalier du diable L ? ensemble triadique de Cantor La courbe de Peano Ensembles connexes non connexes par arcs Le graphe de sin x Le tipi de Cantor Corrigé des exercices Index du chapitre I Représentations des groupes ?nis I Représentations et caractères Représentations de groupes exemples Caractère d ? une représentation exemples Caractères linéaires Sommes directes Représentations de permutation