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Memoire master sallard 2011

Mémoire de Master de Mathématiques option Probabilités et Modèles Aléatoires Pierre-Alain SALLARD avril CRemerciements Je remercie M le Professeur Lorenzo ZAMBOTTI d'avoir accepté d'encadrer ce travail et de m'avoir incité à explorer les applications C en nance de la Théorie des Grandes Déviations C C Résumé Dans le présent mémoire quelques applications à la nance de la théorie des probabilités sont explorées La première partie est basée sur l'ouvrage Financial Modelling with Jump Processes de R Cont et P Tankov CT Je me concentre ici sur la question du pricing de produits dérivés quand l'actif sous-jacent est modélisé à partir d'un processus de Lévy et plus C spéci quement sur la caractérisation de la mesure risque-neutre d'entropie minimale si elle existe La seconde partie est basée sur l'article Some C applications and methods of large deviations in nance and insurance de H Pham Pha Des nombreux exemples étudiés dans l'article je n'en présente ici qu'un seul o? les méthodes de la théorie des grandes déviations permettent d'améliorer le calcul du prix d'une option barrière par simulation de Monte-Carlo CTable des matières I Détermination du prix d'une option quand l'actif sous-jacent est modélisé par un processus de Lévy Introduction C Les actifs nanciers Portefeuille et stratégies Produits dérivés Absence d'opportunité d'arbitrage et mesure risque-neutre Pricing d'un produit dérivé Couverture des produits dérivés et marché complet C Les processus de Lévy dé nitions et résultats généraux C Dé nitions Décomposition de Lévy-Ito Formule de Lévy-Khintchine Conditions d'intégrabilité et moments Processus de Lévy et martingales Exponentielle d'un processus de Lévy Exemples de processus de Lévy Changements de mesures pour les processus de Lévy L'espace canonique et les changements de mesures Opportunités d'arbitrage et complétude du marché Cas d'un processus de Lévy Cas d'un processus de Lévy-exponentiel L'ensemble des prix admissibles d'une option Processus de Lévy et mesure martingale d'entropie minimale La MMEM d'un processus de Lévy La MMEM d'un processus de Lévy-exponentiel Applications Le prix d'une option européenne sous la MMEM dans un modèle de Lévy- exponentiel Pourquoi le choix de la mesure martingale d'entropie relative minimale C II Une application en nance de la théorie des grandes déviations Présentation d'une méthode de Monte-Carlo corrigée pour le calcul d'options bar- rières Description du modèle Amélioration de la simulation de Monte-Carlo Application numérique Développement asymptotique de la probabilité de sortie du pont brownien CPremière partie Détermination du prix d'une option quand l'actif sous-jacent est modélisé par un processus de Lévy C C Chapitre Le formalisme des modèles de marchés nanciers Ce chapitre ne fait que rappeler le formalisme des modèles de marchés C C nanciers et quelques dé nitions classiques d'après les chapitres section et section de CT C Les actifs nanciers C C Un modèle de marché nancier est dé ni à partir d'un espace de probabilité F P C C muni d'une ltration Ft t ?? T o? T est un horizon de temps ni satisfaisant les conditions habituelles de continuité à droite et de complétude C On suppose qu'il y a