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S 5 19 pdf Probabilités et Statistiques LAI -LFI -LF STIC Institut Supérieur d ? Informatique et Mathématiques Monastir Département des Mathématiques AU - Série Estimation ponctuelle-Estimation par intervalle de con ?ance Exercice Soit pX X Xnq un n-échat

Probabilités et Statistiques LAI -LFI -LF STIC Institut Supérieur d ? Informatique et Mathématiques Monastir Département des Mathématiques AU - Série Estimation ponctuelle-Estimation par intervalle de con ?ance Exercice Soit pX X Xnq un n-échatillon d ? une variable aléatoire X discrète de loi dé ?nies pour tout k P N par k PpX ?? kq ?? p qk o? est un paramètre positif Déterminer l ? estimateur du maximum de vraisemblance et étudier ses proprités biais convergence e ?cacité Exercice Soit X une variable aléatoire dont densité de probabilité dé ?nie par f pxq ?? p ? x q si x sinon o? est un paramètre strictement positif et soit pX X Xnq un n- échantillon de la même loi que X et indépendants Déterminer par la méthode des moments un estimateur du paramètre et étudier ses proprités Exercice Soit X une variable aléatoire dont la densité de probabilité est dé ?nie par f pxq ?? ? k xk ? expp ? x q si x si x o? est un paramètre réel strictement positif k un entiel naturel non nul et ? une constante réelle Déterminer la constante ? Montrer que T ?? n n i ?? Xi est l ? estimateur du maximum de vraisemblance de d ? un n-échantillon de la variable X Calculer l ? éspérance mathématique et la variance de T Que peut-on conclure Calculer la quantité d ? information de Fisher En déduire que T est e ?cace Exercice Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernouilli de paramètre p inconnu Pour estimer p on considère l ? estimateur de la moyenne empirique Xn ?? n n i ?? Xi obtenu à partir d ? un n-échantillon de X Déterminer la loi de la variable Y ?? nXn Exprimer EpY q VpY q et EpY q en fonction de n et p CProbabilités et Statistiques LAI -LFI -LF STIC Comment appelle-t-on la méthode d ? estimation qui nous perment de considérer Xn comme estimateur de p Préciser les caractéristique de Xn biais convergence é ?cacité X n est-il un estimateur sans biais de p Sinon donner un estimateur sans biais de p Exercice Trois cabinets d ? étude sont chargés d ? évaluer le coût moyen de fabrication de la production d ? une entreprise Chacun propose un estimation sans biais de ce coût moyen à partir d ? un estimateur personnel Ui pour i ?? U U et U sont considérés indépendants Compte tenu d u sérieus plus ou moins grand de chaque cabinet il s ? avère que l ? écart type de U est la moitié de U et un tiers de celui de U en ?n de compte les trois cabinets se réunissent et proposent comme estimateur global l ? une des combinaison suivantes T ?? U U U T ?? U T ?? U U U a Quels sont parmi ces trois estimateurs ceus qui sont sans biais b Calculer la variance de chacun de ces