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Statistique inferentielle UCAO -UUT EITEC Année - Licence Mathématiques et Statistique ème année Travaux dirigés de Statistique inférentielle Issa C Geraldo CChapitre Echantillonnage Exercice Table de la loi ? n Soit X une variable aléatoire de loi ?n On

UCAO -UUT EITEC Année - Licence Mathématiques et Statistique ème année Travaux dirigés de Statistique inférentielle Issa C Geraldo CChapitre Echantillonnage Exercice Table de la loi ? n Soit X une variable aléatoire de loi ?n On donne n Déterminer x tel que P X x Déterminer y tel que P X y Exercice Table de la loi de Student ST n Soit X une variable aléatoire de loi ST n On donne n a Déterminer t et t tels que P X t et P X t b Déterminer t tel que P X t On donne n Déterminer t tel que P X t Exercice Table de la loi de Fisher-Snedecor F n n Soit X une variable aléatoire de loi ST On donne n et n Déterminer x tel que P X x On donne n et n Déterminer y tel que P X y Exercice Une usine fabrique des ampoules dont la durée de vie moyenne est de H avec un écart-type de H On suppose que la durée de vie des ampoules est distribuée normalement Calculer la probabilité pour que dans un échantillon de taille la moyenne de l ? échan- tillon soit comprise entre H et H plus de H Quelle doit être la taille de l ? échantillon si l ? on veut que la durée de vie moyenne de l ? échantillon ne di ?ère pas de la moyenne de la population de plus de H avec une probabilité de Exercice On considère une urne contenant deux boules blanches et quatre boules bleues dans laquelle on e ?ectue n tirages avec remise A chaque tirage i ?? n on associe la variable aléatoire Xi qui vaut si la boule tirée est blanche et sinon Montrer que X n converge presque-sûrement vers une constante à préciser En utilisant le théorème limite central déterminer le nombre minimum de tirages à ef- fectuer pour avoir P X n ?? o? et CChapitre Estimation ponctuelle Exercice Soient X Xn un n ??échantillon de la loi uniforme sur l ? intervalle le paramètre étant inconnu On désire estimer a Montrer que l ? estimateur du maximum de vraisemblance EMV de est T max X Xn b Déterminer la fonction de répartition de T puis sa densité et calculer E T et Var T c L ? EMV de est-il sans biais convergent d A partir de T construire un estimateur sans biais de a Déterminer l ? estimateur de par la méthode des moments EMM noté b Montrer que l ? EMM de est sans biais et convergent Lequel des deux estimateurs et choisiriez-vous pour estimer Exercice La durée de fonctionnement d ? un matériel électrique est représentée par une variable aléatoire réelle X suivant une loi de Weibull de densité f x ? ? x ? ?? exp x ? ?? ? x o? est inconnu et ? est supposé connu On cherche à estimer Déterminer la loi de Y X ? puis calculer E X