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Alg1 td01 pdf ÉNS Lyon L Algèbre ?? TD Exercice Soit n ? un entier Montrer que pour tout diviseur d de n le groupe Z nZ admet un unique sous-groupe d ? ordre d Réciproquement soit G un groupe ?ni d ? ordre n On suppose que pour tout diviseur d de n le gro

ÉNS Lyon L Algèbre ?? TD Exercice Soit n ? un entier Montrer que pour tout diviseur d de n le groupe Z nZ admet un unique sous-groupe d ? ordre d Réciproquement soit G un groupe ?ni d ? ordre n On suppose que pour tout diviseur d de n le groupe G a au plus un sous-groupe cyclique d ? ordre d Montrer que G est cyclique Application Soit K un corps Montrer que tout sous-groupe ?ni du groupe multiplicatif K ? est cyclique Exercice Combien de relations d ? équivalence peut-on dé ?nir sur Exercice Soit E un espace topologique Si x et y sont deux éléments de E on appelle chemin d ? origine x et d ? extrémité y toute application continue ? ? E telle que ? x et ? y Soient x et y deux éléments de E On dit que x est relié à y s ? il existe un chemin d ? origine x et d ? extrémité y Montrer que la relation x est relié à y ? est une relation d ? équivalence sur E Quelles sont les classes d ? équivalence Exercice Considérons deux ensembles E et F Soit f E ? F une application Montrer que la relation sur E dé ?nie par x ?? y ?? f x f y est une relation d ? équivalence Soit ? l ? application canonique de E dans X E ?? Montrer qu ? il existe une unique application f X ? F telle que f f ? Soient f E ? F et g E ? G deux applications On suppose f x f y ?? g x g y Alors il existe une application h F ? G véri ?ant g h f Montrer que f est injective Exercice Pour tout groupe G véri ?er que la relation de conjugaison est une relation d ? équivalence Montrer que deux éléments conjugués ont même ordre Que dire de la réciproque voir exercice question Exercice On considère le groupe symétrique S Donner une partie génératrice de S Déterminer la liste des sous-groupes de S Parmi les sous-groupes de S lesquels sont distingués Trouver un sousgroupe H de S et des éléments x y ?? S tels que xHyH xyH Montrer que le groupe des automorphismes de V Z Z? Z Z est isomorphe au groupe symétrique S CExercice On s ? intéresse aux sous-groupes de S a Montrer que le sous-ensemble H e ? ? avec ? et ? est un sous-groupe de S isomorphe au groupe V b Calculer les conjugués de ? et ? par le cycle ? et montrer que H est un sous-groupe distingué de S Faire la liste de tous les sous-groupes de S Lesquels sont distingués De même déterminer les sous-groupes du groupe alterné A et indiquer ceux qui sont distingués dans A Montrer que le sous-groupe engendré par est d ? ordre distingué dans H mais pas dans S Montrer que S