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Exam proba oct 16 1 Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis Année Universitaire Documents non autorisés Calculatrice autorisée Octobre Durée h Nombre de pages Table Session Principale Examen de Probabilités NB La rédaction et la clarté des résultats seront

Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis Année Universitaire Documents non autorisés Calculatrice autorisée Octobre Durée h Nombre de pages Table Session Principale Examen de Probabilités NB La rédaction et la clarté des résultats seront prises en compte Exercice points Une pochette contient deux dés L'un est parfaitement équilibré mais le second donne un six une fois sur deux les autres faces étant supposées équilibrées On tire au hasard un dé de la pochette et on le lance On obtient un six Quelle est la probabilité que le dé tiré soit équilibré On obtient un cinq Quelle est la probabilité que le dé tiré soit équilibré Exercice points Soit X une variable aléatoire absolument continue de densité fX x ? exp ?? x ??x ?? R a Calculer ? puis déterminer la fonction de répartition FX de X b Déterminer la loi de la variable aléatoire Y X c Montrer que X possède des moments de tous les ordres et calculer E Xn pour tout entier n En déduire la moyenne et la variance de X Soit Z une v a indépendante de X et de même loi Calculer la moyenne et la variance des v a S X ?? Z et T X C Indication On rappelle que la fonction Gamma est dé nie sur R ? par ? a ? xa ?? e ??xdx et ? n n ?? ??n ? CExercice points Soient X et Y deux v a discrètes à valeurs dans xi i ?? N ? R et yj j ?? N ? R On suppose que la loi conjointe de X Y est P X xi Y yj uivj ?? i j ?? N Trouver les lois marginales des v a X et Y et montrer qu'elles sont indépendantes Soient A et B deux v a indépendantes et de même loi géométrique de paramètre p ?? i e P A k P B k ?? p k ?? p ??k ? On pose Z B ?? A et M min A B a Montrer que si m ?? N ? et z ?? Z P M m Z z P A m ?? z P B m si z P M m Z z P A m P B m z si z ? b En déduire que pour tout m z ?? N ? ? Z P M m Z z p ??p m ?? ??p z c Montrer que M et Z sont indépendantes Exercice points Une usine fabrique des vis dont ont des défauts On associe à chaque vis la v a Xi prenant la valeur si la vis a un défaut et la valeur sinon C Identi er la loi des v a Xi On prélève vis au hasard Soit X i Xi la v a qui suit la loi binomiale B En utilisant le théorème de la limite centrale quelle est la probabilité a D'avoir plus de vis défectueux b D'avoir entre et vis défectueux On veut vis sans défauts Par