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Corrige ds7 ?Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci - Corrigé du DS n du samedi mars Durée heures de h à h Les calculatrices sont interdites Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées Exercices Exercice On considère l ? endomorphisme

?Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci - Corrigé du DS n du samedi mars Durée heures de h à h Les calculatrices sont interdites Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées Exercices Exercice On considère l ? endomorphisme f de R dé ?nie par f x y z x ?? y z ?? x ?? y ?? z ?? x y ?? z F F F F x ?? y z x y z ?? Ker f ?? ?? x ?? y ?? z F F ?? x y ?? z ?? x ?? y z x y z car L ??L ?? x ?? y z x z L L L ?? y x z z x ??z ?? x y z z ?? Ainsi Ker f Vect ?? et comme le vecteur ?? est non nul il constitue une base de Ker f Donc dim Ker f Ainsi par le théorème du rang on a rg f dim R ?? dim Ker f ?? Comme Ker f f n ? est pas injective donc n ? est pas un automorphisme Les vecteurs u f ?? ?? et v f ?? ?? sont dans Im f Leurs coordonnées sont non proportionnelles ils forment donc une famille libre de deux vecteurs de Im f qui est de dimension ils en donc forment une base a Comparer Im f et P le plan de R d ? équation x z Les coordonnées des vecteurs u et v véri ?ent l ? équation du plan P Donc u et v sont dans P donc Vect u v Im f est inclus dans P car P est stable par combinaison linéaire On en déduit que Im f P car ils ont la même dimension b On remarque que le vecteur ?? qui engendre Ker f est aussi dans Im f car ses coordonnées véri ?ent l ? équation x z Ainsi Ker f ?? Im f et donc Ker f et Im f ne sont pas supplémentaires dans R Déterminer un plan vectoriel Q de R dont l ? image par f est une droite vectorielle Si Q Vect a b alors f Q Vect f a f b Il su ?t donc de prendre deux vecteurs a et b non colinéaires avec a dans Ker f On prend donc Q Vect ?? c ? est bien un plan de R et on a f Q Vect f ?? f Vect ?? ?? Vect ?? ?? L ? image du plan Q par f est donc la droite dirigée par ?? ?? Exercice En vrac Les questions sont indépendantes Déterminer la dimension du R-espace vectoriel E P ?? Rn X P t dt L ? application P ? P t dt est une forme linéaire sur Rn X non nulle car donc E est un hyperplan car noyau d ? une forme linéaire non nulle et donc dim E dim Rn X ?? n C ?Arnaud de Saint Julien