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Espac Chapitre Espaces vectoriels Sandrine CHARLES scharles biomserv univ-lyon fr Introduction Un premier exemple Un deuxième exemple Espaces vectoriels Le point sur ? Sous-espaces vectoriels Combinaisons linéaires générateurs Dépendance et indépendance l

Chapitre Espaces vectoriels Sandrine CHARLES scharles biomserv univ-lyon fr Introduction Un premier exemple Un deuxième exemple Espaces vectoriels Le point sur ? Sous-espaces vectoriels Combinaisons linéaires générateurs Dépendance et indépendance linéaire Famille libre et famille liée Combinaisons linéaires et dépendance linéaire Somme et somme directe Somme de deux sous-espaces vectoriels Somme directe Sous- espaces supplémentaires Base et dimension d ? un espace vectoriel Dé ?nitions Dimension et sous- espace Exemples d ? utilisation en Biologie Les oiseaux nicheurs rhônalpins Un contre- exemple Le champ de blé CMathématiques Outils pour la Biologie ?? Deug SV ?? UCBL S Charles Introduction L ? algèbre linéaire est un champ mathématique utilisé dans pratiquement toutes les branches scienti ?ques En e ?et beaucoup de problèmes véri ?ent la propriété suivante si u et v sont deux solutions alors u v est aussi une solution ainsi que k ? u si k est un nombre réel ou complexe De tels problèmes sont dits linéaires et sont plus faciles à résoudre que certains problèmes généraux Un premier exemple Si on considère deux points dans un plan la droite qui les relie dé ?nit une direction et une èche sur cette droite dé ?nit un sens B B B A A A Deux points une direction un sens Deux points avec une direction et un sens forment un vecteur du plan noté AB Sur des vecteurs de même origine on peut dé ?nir deux opérations cohérentes avec ce que vous avez vu des forces en physique - L ? addition Règle du parallélogramme AB AC AD Le produit d ? un vecteur par un nombre On obtient un vecteur de même direction et de longueur ? multipliée par ? Le signe de ? peut alors modi ?er le sens ? du vecteur résultat Chapitre Espaces vectoriels - page - CMathématiques Outils pour la Biologie ?? Deug SV ?? UCBL S Charles Un deuxième exemple L ? expression a a x a x ? an xn dont les coe ?cients a a a ? an appartenant à est un polynôme de degré n On peut comme précédemment dé ?nir deux opérations sur les polynômes - L ? addition P x a a x a x ? an xn Q x b b x b x ? bn xn ?? P Q x a b a b x a b x ? an bn xn Le polynôme P Q est également un polynôme de degré n - Le produit d ? un polynôme par un nombre ? ?? On obtient un polynôme dont tous les coe ?cients sont multipliés par ? P x a a x a x ? an xn ?? ? ? P x ?a ?a x ?a x ? ?an xn Le polynôme ? ? P est également un polynôme de degré n Il est petit à petit apparu que de tels ensembles l ? ensemble des vecteurs l ? ensemble des polynômes de degré n et bien d ? autres encore pourtant très di ?érents