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Article proportionnalite Autour de la proportionnalité Alaeddine BEN RHOUMA Table des matières La proportionnalité et la linéarité à travers l ? histoire La théorie des proportions dans Les éléments d ? Euclide Les mathématiques chez les égyptiens un aspe

Autour de la proportionnalité Alaeddine BEN RHOUMA Table des matières La proportionnalité et la linéarité à travers l ? histoire La théorie des proportions dans Les éléments d ? Euclide Les mathématiques chez les égyptiens un aspect additif et linéaire Résolution des équations linéaires prêcher le faux pour savoir le vrai ? Fausse position simple Fausse position double Structure mathématique de l ? objet proportionnalité Motivations Les grandeurs Modèle général de la proportionnalité grandeurs mesures et variables numériques Références Qu ? est ce que la proportionnalité Il s ? agit d ? une relation particulière entre deux grandeurs ou plutôt leurs mesures ou entre deux suites de nombres Ces deux suites de nombres associées ou non à des grandeurs doivent être multiples l ? une de l ? autre et être donc telles que toute combinaison linéaire de valeurs de l ? une corresponde à la même combinaison linéaire des valeurs correspondantes de l ? autre La proportionnalité et la linéarité à travers l ? histoire La théorie des proportions dans Les éléments d ? Euclide Voici un extrait du livre V des éléments d ? euclide On dit de quatre grandeurs a b c d prises dans cet ordre que la première est à la deuxième dans le même rapport que la troisième est à la quatrième quand n ? importe quel équimultiple de la première et de la troisième grandeur est en même temps et respectivement soit supérieur soit égal soit inférieur à n ? importe quel autre équimultiple de la deuxième et de la quatrième grandeur CEn traduisant cette dé ?nition avec le langage mathématique moderne on obtient la dé ?nition suivante Les rapports a b et c d sont égaux si pour tous p q ?? N on a l ? un des trois cas suivants i qa pb ?? qc pd ii qa pb ?? qc pd iii qa pb ?? qc pd Remarque Euclide ne considérait que les grandeurs commensurables et homogènes autre- ment dit les grandeurs de même type dont leur rapport est un nombre rationnel De plus un rapport de grandeurs a n ? a pas de notion propre à lui et il est vu par euclide comme une manière d ? être ? entreb deux grandeurs homogènes et c ? est la notion de proportion qui précise la notion de rapport En e ?et euclide ne considère pas le rapport de deux grandeurs a comme un nombre mais comme un objet mathématique qu ? on ne peut que le comparer à bun autre objet de même type ? qui est aussi un rapport de deux grandeurs c Finalement c ? est seule la proportion a c qui nous b qa d pb alors qc donne pd une information quantitative d en exhibant deux entiers p et q tels que si Précisons toujours selon euclide que qa n ? est pas un nombre mais c ? est un multiple entier de la grandeur a Puis voici un deuxième extrait des Éléments d