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Corrige ps ?? Université Lyon ISFA ?? Master SAF ère année ?? Corrigé Processus stochastiques Examen du janvier ?? Durée h Exercice Dans tous les cas on écrit le processus demandé comme f t Bt et on applique la formule d ? Itô a f t x x t exp ??x ?? t ? f

?? Université Lyon ISFA ?? Master SAF ère année ?? Corrigé Processus stochastiques Examen du janvier ?? Durée h Exercice Dans tous les cas on écrit le processus demandé comme f t Bt et on applique la formule d ? Itô a f t x x t exp ??x ?? t ? f ?? x ?? t exp ??x ?? t ? t ? f ?? x ?? t exp ??x ?? t ? x ? f ? x ?? x t exp ??x ?? t Soit dXt ?? Bt ?? t exp ??Bt ?? t dBt b f t x exp t sin x ? f ? f ? f ? t exp t sin x ? x exp t cos x ? x ?? exp t sin x Soit dUt exp t cos Bt dBt C ? est un cas particulier d ? un exercice vu en TD avec et ? La solution s ? écrit Yt exp Bt On utilise à nouveau Itô avec f t x x t On trouve dZt ?? Bt t dt dBt t Exercice Lorsque Xt ?? b le co ??mportement de Xt est proche de celui d ? un mouvement Brownien sans dérive de volatilité ? b Lorsque Xt s ? éloigne de b le terme en dt agit comme une force de rappel ? vers b On utilise Itô avec f t x eatx On trouve ?? dYt aeatXt dt a b ?? Xt eat dt ?eat ? Xt dWt soit dYt abeat dt ?eat ? Xt dWt En intégrant l ? équation précédente entre et u on trouve u u Yu ?? Y ab eat dt ? eat soit après calcul de la première intégrale Xt dWt Yu Y b eau ?? ?Mu Mu u est une martingale relativement à la ?ltration associée à Wt t car il s ? agit de l ? intégrale d ? Itô d ? un ??bon processus ? au sens du cours contre les variations de Wt Comme une martingale est d ? espérance constante on en déduit que E Mu E M D ? o? E Yu b eau ?? Y et E Xu e ??auE Yu b ?? e ??au X Comme a et b sont non nuls E Xu dépend de u donc le processus Xu u n ? a pas une espérance constante Il ne peut donc pas être une martingale CExercice Fait en TD On trouve es Fait en TD T est l ? instant de premier passage du processus W qui est F-adapté puisque F est la ?ltration naturelle de W dans le borélien a C ? est donc un temps d ? arrêt relativement à F par un théorème du cours Zt ??T t est la martingale Zt arrêtée en T qui est un temps d ? arrêt C ? est donc encore une martingale Une martingale étant d ? espérance constante on a E Zt ??T E Z ??t ? Soit ? ?? Montrons d