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Corrige td2 spect2020 UNIVERSITE des SCIENCES et de la TECHNOLOGIE d'ORAN Faculté des mathématiques et Informatique Département de Mathématiques Année e année Master Analyse mathématique et application Matiére Théorie spectrale Corrigé de TD N Opérateurs

UNIVERSITE des SCIENCES et de la TECHNOLOGIE d'ORAN Faculté des mathématiques et Informatique Département de Mathématiques Année e année Master Analyse mathématique et application Matiére Théorie spectrale Corrigé de TD N Opérateurs positifs adjoints Résolvante théorie spectrale d'Opéra- teurs linéaires bornés Exercice L'opérateur T étant autoadjoint son spectre est réel d'o? i et ??i n'appartiennent pas à ? T et les résolvantes T iIdH et T ?? iIdH sont inversibles d'o? IdH ?? iT ??i T iIdH est inversible son inverse est i T iIdH ?? et IdH iT i T ?? iIdH est inversible d'inverse ??i T ?? iIdH ?? C Il y a erreur sur la che à corriger On a IdH iT IdH ?? iT IdH ?? iT IdH iT IdH T alors en multipliant à gauche l'égalité par IdH iT ?? on obtient IdH iT ?? IdH iT IdH ??iT IdH iT ?? IdH ??iT IdH iT d'o? IdH ??iT IdH iT ?? IdH ?? iT IdH iT puis en multipliant à droite par IdH iT ?? on obtient IdH ?? iT IdH iT ?? T iIdH ?? IdH ?? iT IdH iT IdH iT ?? et le résultat IdH ?? iT IdH iT ?? IdH iT ?? IdH ?? iT U IdH ?? iT IdH iT ?? IdH iT ?? IdH ?? iT ?? U IdH ?? iT IdH iT ?? IdH iT IdH ?? iT ?? et comme T T on obtient U IdH iT IdH ?? iT ?? U U IdH ?? iT IdH iT ?? IdH iT IdH ?? iT ?? IdH et U U IdH iT IdH ?? iT ?? IdH ?? iT IdH iT ?? IdH U est un opérateur unitaire donc U IdH U IdH iT IdH iT ?? IdH ?? iT IdH iT ?? IdH iT IdH ?? iT IdH iT ?? IdH IdH iT ?? IdH iT ?? Par conséquent IdH U est inversible d'inverse I dH U ?? I dH iT On a I ?? U IdH iT IdH iT ?? ?? IdH ?? iT IdH iT ?? iT IdH iT ?? et on a erreur à corriger sur la Cche ??i I dH ??U IdH U ?? ??i iT I dH iT ?? I dH iT T Exercice Montrons d'abord que l'opérateur V T U est hermitien B autoadjoint en e et V T UU U U T UUT U UT car T et U sont hermitiens Comme U T T U V U T U T U U V D'aute part ??x H V x x x V x x T U U x T U x U x U T x U x T U x U x ? car l'opérateur T est positif T est hermitien et T x x ? donc V est positif Exercice a En cours nous posé RT ? T ?? ?IdH ?? en TD non Soient ? ?? T RT ? ?? RT ?IdH ?? T ?? ?? IdH ?? T ?? ?IdH ?? T ?? IdH