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Corrigeserie 2 smps3 Universit ?e Cadi Ayyad Facult ?e des Sciences Semlalia D ?epartement de Math ?ematiques Ann ?ee universitaire Fili ere SMP-S Analyse num ?erique Corrig ?e s ?erie n ? Exercice ? Calculer l ? int ?egrale complexe le long de la courbe

Universit ?e Cadi Ayyad Facult ?e des Sciences Semlalia D ?epartement de Math ?ematiques Ann ?ee universitaire Fili ere SMP-S Analyse num ?erique Corrig ?e s ?erie n ? Exercice ? Calculer l ? int ?egrale complexe le long de la courbe C indiqu ?ee suivantes z z dz C le cercle de centre et de rayon C e zdz C le segment qui relie les ?i a ?i C z z C le chemin ferm ?e de ?gure ci-contre form ?e de l ? arc de cercle de centre et de rayon C et du segment i d ?ecrit dans le sens direct ? Solution ? Le cercle C de centre et de rayon R parcouru dans le sens positif est param ?etr ?e par ? t eit t ?? ? avec ? t ieit Donc l ? int ?egrale vaut z z dz C ? ? f ? t ? t dt eit ? eit ieitdt ? ie it ie it dt e it e it ? e i ? e i ? ?? ?? Autre m ?ethode Puisque la fonction f z z z est holomorphe sur et l ? int ?erieur du cercle C alors d ? apres th ?eoreme de Cauchy z z dz C Le segment ?i ?i est param ?etr ?e par le chemin ? t ?i ?i ?? ?i t ?i ?t ?i t t ?? et on a ? t ?i Donc e zdz f ? t ? t dt e ?i t ?idt ?i e ?ie i ?tdt C ?i e i ?t e i ? ?? e i ? cos ? i sin ? i ? Autre m ?ethode La fonction f z e z est holomorphe et admet de primitive alors e zdz i ? e zdz e z i ? e i ? e i ? ?? C i ? i ? D ? apr es la relation de Chasles l ? int ?egrale peut s ? ?ecrit sous forme z z dz z z dz z z dz C Arc i CIm z Re z L ? arc de cercle Arc de centre et de rayon peut etre param ?etr ?e par ? t eit t ?? ? Donc on a ? e ??it eit d eit t ? ? e ??it e it ieitdt i ie it dt it e it ? i ? ei ? ?? e i ? ?? i ?? e ? i cos ? i sin ? ??i Le segment z z d ? extr ?emit ?es z i et z peut etre param ?etr ?e par ? t z z ?? z t i ?? i t t ?? On a donc dz ? t dt ?? i dt et l ? int ?egrale donn ?ee vaut z z dz z z ??i ti t i ?? ti t ?? i dt t ?? i ?? t i dt t ?? t it ?? t i Ce qui entra ne