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Cours mit2 ts MIT - Introduction aux signaux aléatoires JJ Bellanger ANALYSE DE SIGNAUX ALEATOIRES POUR LE TRAITEMENT DU SIGNAL Les notes qui suivent portent sur les signaux dépendant d ? une variable monodimensionnelle Il faut cependant insister sur le f

MIT - Introduction aux signaux aléatoires JJ Bellanger ANALYSE DE SIGNAUX ALEATOIRES POUR LE TRAITEMENT DU SIGNAL Les notes qui suivent portent sur les signaux dépendant d ? une variable monodimensionnelle Il faut cependant insister sur le fait que formellement ces résultats sont exactement les mêmes quand on les développe pour les signaux d ? une variable bidimensionnelle ou même tridimensionnelle les transformées de Fourier produits de convolution fonctions d ? inter et autocorrélations étant à prendre alors au sens D o? D I-SIGNAUX ALEATOIRES EN TEMPS CONTINU Dé ?nition Un SA X en temps continu correspond à une famille de variables aléatoires VA X t t ?? R Les VA X n seront considérées comme pouvant être à valeurs dans R ou dans C Commentaires - à t ?xé on est amené à considérer la loi de probabilité et les moments de la VA X t - à t et t ?xés on est amené à considérer la loi de probabilité conjointe bidimensionelle et les moments conjoints de la paire de VA X t X t en particulier leur coe ?cient de corrélation - à t t t ?xés ? - A ? ?? ?xé la fonction X ? t X t ? t ?? R se ramène à un signal déterministe en temps continu à valeurs réelles ou complexes et est appelée réalisation X ? de X Moyenne d ? un SA X C ? est la fonction mX t E X t t ?? R Si mX t prend une même valeur m pour tout t on dit que la suite mX est stationnaire ou encore que X est de moyenne stationnaire SA XC associé à un SA X c ? est le SA XC t X t ?? mX t t ?? R Covariance d ? un SA X c ? est la fonction de variables C X t t E X t X t t t ?? R Si CX t t ne dépend que de la di ?érence t ?? t on dit que la covariance est stationnaire et on introduit alors la fonction de corrélation ?X CX t t ?? Covariance centrée et corrélation centrée d ? un SA X CMIT - Introduction aux signaux aléatoires JJ Bellanger Ce sont les quantités obtenues en remplaçant dans la dé ?nition de la covariance et de la fonction de corrélation X par X C On note ces quantités CXC et ?XC Puissance statistique moyenne d ? un SA X C ? est par dé ?nition la valeur quadratique moyenne moyenne étant prise au sens statistique de X t à l ? instant t PSM X t E X t CX t t t ?? R Si la covariance est stationnaire cette quantité est évidemment constante au cours du temps DSP densité spectrale de puissance d ? un SA X Dans le cas o? sa covariance est stationnaire la DSP du SA X notée ? X est dé ?nie comme étant égale à la transformée de