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Cours probabilites sur un univers fini

c Christophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI Probabilités sur un univers ?ni Expérience aléatoire et événements Explication ? Le concept d ? expérience aléatoire n ? est pas mathématique à proprement parler On appelle ainsi toute expérience ?? expérience matérielle ou expérience de pensée ?? susceptible a priori de résultats di ?érents quand on la répète L ? ensemble de ces résultats observables est appelé l ? univers de l ? expérience étudiée et très souvent noté Plutôt que de résultats on parle aussi souvent d ? issues et de réalisations ?? L ? expérience d ? un lancer de dé à faces peut conduire à résultats selon la face obtenue On pourra modéliser une telle expérience par l ? univers ?? L ? expérience du tirage de boules successivement avec remise dans une urne contenant des boules noires et des boules blanches peut conduire à résultats et si on choisit d ? associer ? à la couleur noire et ? à la couleur blanche On pourra modéliser une telle expérience par l ? univers des -listes de En MPSI tous nos univers seront des ensembles ?nis Vous étudierez certains univers in ?nis en deuxième année Cette restriction du programme aux univers ?nis est uniquement technique La théorie générale des probabilités sur un univers quelconque pour peu qu ? on la développe vraiment rigoureusement requiert l ? introduction d ? objets et de techniques sensiblement plus sophistiqués que ceux que nous aborderons ensemble L ? ennui bien sûr c ? est qu ? en limitant la taille des univers on limite drastiquement le nombre des expériences aléatoires autorisées Il nous sera par exemple impossible en MPSI ?? de jouer à pile ou face indé ?niment ?? mais vous le pourrez en deuxième année ?? de jouer aux échettes contre un disque de rayon R et de nous demander quelle probabilité on a d ? atterrir dans le disque central de rayon R ?? intuitivement ?R ? R mais comment le démontrer ? A propos d ? une expérience aléatoire donnée on peut bien sûr appréhender chaque résultat isolément en tant qu ? élément de mais ce qui nous intéresse généralement ce sont des regroupements de résultats dé ?nis génériquement par une propriété commune et appelés événements ?? Dans le lancé de dé précédent la propriété La face obtenue est paire ? est satisfaite par résultats précisément par les résultats de l ? ensemble ?? Dans le tirage dans l ? urne précédent la propriété La première boule est blanche ? est satisfaite par résultats précisément par les résultats de l ? ensemble Plus généralement toute partie de est appelée un événement L ? ensemble des événements de l ? expérience aléatoire étudiée est ainsi l ? ensemble P Dé ?nition Vocabulaire usuel sur les événements Soit un univers ?ni d ? expérience aléatoire ? Les singletons de sont appelés les événements élémentaires de l ? expérience aléatoire étudiée ou de L ? événement est appelé l ? événement certain et