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Devoir libre suites equivalentes

Université Nice Sophia Antipolis L PC - Analyse Devoir libre À rendre le ?? Jean-Baptiste Campesato La note tiendra compte de la rédaction et de la présentation IL FAUT TOUT JUSTIFIER Il s ? agit d ? un travail individuel Suites équivalentes Dé ?nition on dit que deux suites un n et vn n sont équivalentes s ? il existe une suite n n tendant vers telle que un nvn On note un ?? vn Il s ? agit d ? une relation d ? équivalence Caractérisation lorsque vn n est non nulle à partir d ? un certain rang un ?? vn ?? un vn ?? ? n ? Proposition si un ?? vn alors soit un n et vn n ont toutes les deux une limite et en l ? occurrence la même soit aucune ne possède de limite Proposition si un ?? vn et si un ?? vn alors unun ?? vnvn Problème intégrales de Wallis ? Pour tout n ?? N on considère In sin t ndt Montrer par un changement de variable que ??n ?? N In Calculer I et I ? cos t ndt a Montrer que la suite In n ??N est décroissante à termes strictement positifs b En déduire qu ? elle converge Montrer que pour tout n ? n In n ?? In ?? a Montrer que In ?? In on pourra utiliser la monotonie de In ainsi que la relation pour conclure avec le théorème des gendarmes b Déduire de la relation que la suite n InIn n ??N est constante c Déduire des questions précédentes que In ?? ?? ? n d En déduire lim n ? In et lim n ? n In a Déduire de la relation que I p ? ? ? ? p ?? ? ? ? ? ? p p p p ? et que I p ? ? ? ? p ? ? ? ? p p p p Attention il y a à chaque fois deux égalités à montrer On retrouve que la suite n InIn n ??N est constante b Montrer que lim p p ? Formule de Wallis p ? p p Exercice ?? Donner le DL de x ? x ax bx x Déterminer lim x ? http math unice fr campesat C x Déterminer lim x ? ln x ??x Exercice Prouver que les fonctions suivantes admettent une asymptote en ? dont on donnera l ? équation On étudiera la position de la courbe par rapport à son asymptote x ch x ?? sh x f x ? ch x ?? x f x ? e x Exercice Donner une ??primitive de x ? cos x on pourra commencer par un changement de variable x x x ? x x on pourra commencer par réaliser une division euclidienne http math unice fr campesat C