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Devoir maison 2 1 Th ?eorie des ensembles Appadourai David Question Donner la d ?e ?nition complete d ? un cardinal On se place dans ZFC on se permet donc d ? utiliser l ? axiome du Choix Le th ?eoreme de Zermelo nous dit que tout ensemble est bien ordonn

Th ?eorie des ensembles Appadourai David Question Donner la d ?e ?nition complete d ? un cardinal On se place dans ZFC on se permet donc d ? utiliser l ? axiome du Choix Le th ?eoreme de Zermelo nous dit que tout ensemble est bien ordonnable donc en bijection avec un ordinal Par cons ?equent chaque classes d ? ?equipotence est non vide La classe des ordinaux est bien ordonn ?ee i e chaque sous ensemble non vide admet un plus petit ?el ?ement On appelle cardinal un ordinal qui est le plus petit de sa classe d ? ?equipotence c ? esta-dire qui n ? est en bijection avec aucun ordinal plus petit que lui Existence des fondements uniques des math ?ematiques Dans une lesson d ? astronomie de Bertrand Russell une vieille dame lui a pos ?e une critique en disant que en vraie la terre ?etait plate et c ? ?etait une tortue qui la soutenait sur le dos Russell lui a demand ?e par la suite ? la tortue elle se tient sur quoi alors ? La dame lui r ?epondit ? ce sont des tortues al ? in ?ni ? On pourrait en dire le m eme du sentiment des math ?ematiciens au debut du XXe siecle Lors de la d ?ecouverte des g ?eom ?etries non- ?euclidiennes et l ? axiomatisation de l ? arithm ?etique par Peano les math ?ematiciens se posaient la question sur la possibilit ?e de fonder les math ?ematique sur une base universelle unique et presque primitive Depuis Aristote la logique ?etait consid ?er ?e comme un id ?eal scienti ?que et Leibniz au XVII siecle consid ?erait la possiblit ?e de construire une langue universelle et un calcul de la raison qui pourrait donner r ?eponsea tout probleme concevable Au XIX sicele Frege r ?eunit le r eve de Leibniz et la science Aristot ?elicienne pour cr ?eer sur la base de la th ?eorie des ensembles de Cantor un systeme qui vise a fonder l ? ensemble des math ?ematiques N ?eanmoins en Bertrand Russell trouve une paradoxe dans le systeme freg ?een et par cons ?equence dans la th ?eorie de Cantor l ? axiome qui permet la construction libre des ensembles aboutita des contradictions CLe systeme de Frege s ? ?ecroule mais son projet est continu ?e par d ? autres Zermelo et Fraenkel avec l ? intention d ? ?eviter des nouvelles paradoxes arrivent a axiomatisent le systeme de Cantor Zermelo et Fraenkel n ? ont pas l ? int ?er et de fonder les math ?ematiques Ils cherchent plutot r ?esoudre des problemes d ? ordre m ?etamath ?ematique comme l ? ind ?ependance de axiomes Cependant les bases de la th ?eorie de Cantor sert encore aRussell et Whitehead pour r ?ediger Principia Mathematica un systeme fond ?e sur les notions de classe et de types De m eme David Hilbert tente de fonder les bases de la th ?eorie de