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Ecricome 2004 e ECRICOME Voie Eco EXERCICE Soient f la fonction numérique de la variable réelle dé ? nie par x R f x p x et un la suite de nombres réels déterminée par n u N R f un R x xdnxf x dx On note Cf la représentation graphique de f relativement à

ECRICOME Voie Eco EXERCICE Soient f la fonction numérique de la variable réelle dé ? nie par x R f x p x et un la suite de nombres réels déterminée par n u N R f un R x xdnxf x dx On note Cf la représentation graphique de f relativement à un repère orthonormal O i j Etude de f Montrer que la fonction f est paire sur R Etudier les variations de f sur l ? intervalle Déterminer la limite de f lorsque x tend vers Montrer que f est bornée sur R Donner l ? allure de Cf Montrer que f réalise une bijection de l ? intervalle sur un intervalle J à préciser Pour tout y de l ? intervalle déterminer l ? unique réel x appartenant à l ? intervalle tel que f x y Déterminer alors la bijection réciproque f Calcul d ? aire On considère la fonction numérique F de la variable réelle x dé ? nie par p F x ln x x Pour tout réel strictement positif on note A l ? aire exprimée en unité d ? aire du domaine constitué par l ? ensemble des points M x y tels que x et y f x ainsi Z A f x dx C Montrer que p x R x x En déduire l ? ensemble de dé ? nition de F Montrer que F est une primitive de f sur R Montrer que F est impaire sur son ensemble de dé ? nition Déterminer la limite de F lorsque x tend vers En déduire la limite de F quand x tend vers Exprimer A en fonction de et calculer la limite de A lorsque tend vers Etude de la suite un Calculer u et u E ectuer une intégration par parties et calculer u x On pourra remarquer que p x p x x x Déterminer le sens de variations de la suite un Montrer que la suite un est convergente On ne cherchera pas sa limite dans cette question Justi ? er l ? encadrement suivant x n N p xn x xn en déduire que n N un n Déterminer alors la limite de la suite un EXERCICE Dans cet exercice on étudie l ? exponentielle d ? une matrice pour une matrice carrée d ? ordre puis d ? ordre Exponentielle d ? une matrice carrée d ? ordre Soient A et P les matrice dé ? nies par A A P A Montrer que la matrice P est inversible et déterminer P On pose T P A P a Calculer la matrice T b Calculer T T puis T n pour out entier naturel n C En déduire que n o? désigne la matrice nulle d ? ordre An Pour tout réel t on dé ? nit la matrice E t par E t I tA t A o? I désigne la matrice unité d ? ordre a Montrer que t t R E