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Epreuve danalyse ens yaounde 2011

UNIVERSITE DE YAOUNDE I Ecole Normale Supérieure de Yaoundé Concours d ? entrée en première année du premier cycle Série Mathématiques Epreuve Analyse-Algèbre-Probabilités Durée h Session Exercice points Pour tout réel m on désigne par Cm la courbe représentative de la fonction fm dé ?nie de ? vers R par fm x ln mx ?? m ??x Déterminer l ? intersection de toutes les courbes Cm pt m Déterminer suivant les valeurs de m le domaine de dé ?nition Dm de fm pt On suppose que m o a Montrer que pour tout x ?? Dm fm x ??f x m b En déduire une méthode de construction de C à partir de Cm c m On pose que f f et g f ?? a Dresser le tableau de variation de f et de g pt pt pt e b Construire C et C ?? dans un même repère orthonormé unité cm r c Déterminer l ? aire du domaine E des points M x y tels que ? x ? ? y ? f x pt pt b d Montrer que f est une bijection de D vers R puis déterminer f ?? x pt i On pose h x min f x g x Par simple lecture graphique l a Déterminer le domaine de dé ?nition de h pt b Représenter distinctement la courbe C de h pt e Exercice points d Pour tout entier naturel n ? on pose un u Déterminer L ? cos x ?? sin x n cos x dx Soit L sin x ? cos x dx sin x pt ? t Montrer que un ?? un ?? sin x n cos xdx puis calculer un ?? un e Montrer par récurrence que ??n ?? N un ?? ?? n n pt pt pt w ? Montrer que ??n ?? N un ?? ln ? sin x ndx En déduire que un est convergente et déterminer sa limite pt pt pt w On pose an n un ?? un et bn ?? n un ??un Montrer que an est géométrique et que bn est artihmétique pt pt wExercice points Montrer que est un nombre premier Déterminer le plus petit nombre premier pluss grand que pt pt ?? ?? ?? i On pose Z i ?? ?? ?? i a Ecrire sous forme algébrique i pt C b En déduire la partie réelle et la partie imaginaire de Z sans cosinus ni sinus pt Exercice points Dans une population des familles groupe A ont une voiture des familles groupe B ont un téléviseur et des familles groupe C n ? ont ni voiture ni téléviseur On choisit hasard une famille de cette population Déterminer la probabilité que a Cette famille ait une voiture et un téléviseur pt b Cette famille ait un téléviseur sachant qu ? elle a une voiture pt On suppose que des familles du groupe A groupe B non compris abandonnent leurs voitures m des familles du groupe B groupe