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Exam rattrapage math corrige

Universit ?e Mohammed V-Agdal Facult ?e des Sciences Juridiques www fsjesr ac ma E ? conomiques et Sociales Rabat Fili ere de Sciences E ?conomiques et de Gestion Printemps ??E ?t ?e Section A B Semestre S Module M ?ethodes Quantitatives I Mati ere Math ?ematiques I Professeure Amale LAHLOU Corrig ?e du Contr ole de Rattrapage E ?nonc ?e Exercice Soit la fonction r ?eelle d ?e ?nie par f x ln ??x x D ?eterminer Df le domaine de d ?e ?nition de f Montrer que la fonction f est bijective en pr ?ecisant son ensemble de d ?epart et son ensemble d ? arriv ?ee D ?eterminer sa fonction r ?eciproque Exercice Soit la fonction r ?eelle d ?e ?nie sur R par f x ln e x ?? ex D ?eterminer les ?eventuels points extremums et points d ? in exion de la fonction f En d ?eduire le domaine de convexit ?e de f Exercice D ?eterminer le D ?eveloppement Limit ?e a l ? ordre et au voisinage de de la fonction d ?e ?nie par f x ln x x en e ?ectuant dans une ?etape interm ?ediaire la division selon les puissances croissantes a un ordre bien d ?etermin ?e Exercice Soit la fonction r ?eelle d ?e ?nie sur R par f x x ?? e x ?? D ?eterminer le D ?eveloppement G ?en ?eralis ?e de f au voisinage de l ? in ?ni et a l ? ordre D ?eterminer les ?equations des asymptotes a Cf la courbe repr ?esentative de f au voisinage de l ? in ?ni Pr ?eciser la position de Cf par rapport a ses asymptotes R ?eponse Exercice Soit la fonction r ?eelle d ?e ?nie par f x ln ??x x D ?eterminons le domaine de d ?e ?nition de f La fonction f est la compos ?ee de deux fonctions x ? ??x x qui n ? est d ?e ?nie que si x i e x ?? et la fonction X ? ln X qui est bien d ?e ?nie pour tout X Alors Df x ?? R x ?? et x ??x E ?tudions le signe de ??x x x ?? ? ?? ? ??x ? ?? x ??x x ?? ? ?? ? ?? on constate donc que ?? x x ?? x ?? ?? Par suite ? ? Df ?? Montrons que la fonction f est bijective en pr ?ecisant son ensemble de d ?epart et son ensemble d ? arriv ?ee D ? une part la fonction f est continue sur son domaine de d ?e ?nition puisque c ? est la compos ?ee de fonctions continues sur ?? et d ? autre part f est strictement d ?ecroissante sur cet intervalle en e ?et par un calcul simple on montre que f x ?? ?? x D ? ou la fonction f est bijective de ?? vers f ?? Or f ?? lim f x