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Le nombre d or en mathematique

Manuscrit auteur publié dans Images des Mathématiques http images math cnrs fr Le-nombre-d-or-en-mathematique html Le nombre d ? or en mathématique To print higher-resolution math symbols click the Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel Le janvier par Pierre de la Harpe Professeur à l'Université de Genève page web Texte de vulgarisation mathématique à propos du nombre d ? or On y montre d ? abord l ? équivalence de plusieurs dé ?nitions de ce nombre Puis on décrit le rôle du nombre d ? or dans quelques problèmes géométriques proportions dans un pentagone régulier ainsi que dans diverses considérations arithmétiques élémentaires et plus avancées approximation diophantienne ème problème de Hilbert Les prérequis mathématiques sous ??entendus varient considérablement de place en place Chic J ? ai Compris L ? essentiel Et c ? est pour demain Si le diable est dans les détails hal- version - Apr Un choix de dé ?nitions E N mathématiques le nombre d ? or peut être dé ?ni de plusieurs manières di ?érentes mais toutes équivalentes au sens o? elles dé ?nissent le même nombre Le choix des dé ?nitions qui suivent ainsi que leur ordre relève donc d ? une bonne dose d ? arbitraire Dé ?nition Le nombre d ? or est le nombre La notation choisie la lettre grecque prononcer ? ? est l ? un des usages courants un autre est prononcer à mi-chemin entre tau ? et tao ? Certains auteurs af ?rment que le choix de honore le sculpteur grec Phidias du Vème siècle avant Jésus-Christ Approximations décimales Pour les emmards de on déduit d ? abord les calculs un peu plus loin d ? abord et par suite En poussant puis etc par exemple jusqu ? à ce qu ? on trouve comme dans au moins une page de Wikipedia ou encore un peu plus Voir par exemple ce lien pour les premières décimales de CC ? est une conséquence de la proposition voir plus bas qu ? il n ? est pas possible d ? écrire une valeur exacte en notation décimale avec un nombre ?ni de chi ?res Dé ?nition Le nombre d ? or est la solution positive de l ? équation x ?? x ?? Equivalence avec la dé ?nition L ? équation x ?? x ?? a deux solutions qui sont et ?? comme on le véri ?e par exemple en écrivant x ?? ?? x ?? x ?? ?? x ?? x ?? x ?? x ?? Par ailleurs il est presqu ? évident que le nombre est positif et que le nombre ?? est négatif CQFD hal- version - Apr Remarques Ainsi ?? ?? il est parfois avantageux d ? écrire cela sous la forme ?? Notons par ailleurs que ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? c ? est-à-dire que l ? autre racine de l ? équation de la dé ?nition est précisément ?? ?? ?? Dé ?nition Le nombre d ? or est