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Td11 corrige CPP ?? Corrigé du TD no Fonctions réelles J Gillibert Exercice Soient f et g deux fonctions continues R ? R On suppose que ??x ?? Q f x g x Montrer que f g Réponse Rappelons d ? abord le résultat suivant tout nombre réel est limite d ? une su

CPP ?? Corrigé du TD no Fonctions réelles J Gillibert Exercice Soient f et g deux fonctions continues R ? R On suppose que ??x ?? Q f x g x Montrer que f g Réponse Rappelons d ? abord le résultat suivant tout nombre réel est limite d ? une suite de nombres rationnels autrement dit l ? adhérence de Q est égale à R on dit que Q est dense dans R Pour justi ?er rigoureusement ce résultat soit un nombre réel alors la suite un dé ?nie par n un n est une suite de nombres rationnels et même décimaux qui converge vers En e ?et par dé ?nition de la partie entière nous avons n ? n n d ? o? ? un n ce qui n ? est pas très étonnant un est la valeur approchée par défaut à ??n près de Le théorème des gendarmes montre que un converge vers Passons à la résolution de l ? exercice proprement dit Soit un réel et soit un une suite de nombres rationnels qui converge vers Alors par continuité de f la suite f un converge vers f De même par continuité de g la suite g un converge vers g Mais un est un nombre rationnel donc f un g un pour tout n Par unicité de la limite d ? une suite on en déduit que f g Exercice Montrer que pour tout couple a b ?? R max a b a b a ?? b Réponse On distingue deux cas ?? ou bien a ? b dans ce cas a ?? b est positif ou nul donc a ?? b a ?? b Par conséquent a b a ?? b a b a ?? b a max a b ?? ou bien a b dans ce cas a ?? b est strictement négatif donc a ?? b ??a b Il en résulte que a b a ?? b a b ?? a b b max a b Dans tous les cas la formule est bien véri ?ée Soient f et g deux fonctions continues D ? R Soit max f g la fonction dé ?nie par max f g D ?? ? R x ?? ? max f x g x CMontrer que cette fonction est continue sur D Réponse D ? après la question précédente nous avons max f g f g f ?? g Or la fonction f ?? g est continue comme di ?érence de deux fonctions continues et la fonction valeur absolue est continue donc la fonction f ?? g est continue comme composée de fonctions continues Finalement f g f ?? g est la somme de trois fonctions continues donc est continue ce qui montre que max f g est continue Exercice Montrer que l ? équation x x a au moins une solution sur Réponse Soit f x x ?? x ?? alors notre équation se réécrit f x La fonction f est continue sur R et