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Serie de td n02 Ecole Supérieure en Sciences et Technologies de l ? Informatique et du Numérique eme Année Classe Préparatoire Année Universitaire Série de TD no du module probabilité et statistique Exercice no En utilisant l ? inégalité de Bienaymé-Tcheb

Ecole Supérieure en Sciences et Technologies de l ? Informatique et du Numérique eme Année Classe Préparatoire Année Universitaire Série de TD no du module probabilité et statistique Exercice no En utilisant l ? inégalité de Bienaymé-Tchebychev montrer que pour tout x x ?? ? e ??t dt ? ?? ? ?? x Exercice no On lance n fois un dé à faces Comment choisir n pour que la probabilité d ? obtenir un nombre de compris entre et n soit supérieure à Exercice no Soit Xn n une suite de variable aléatoire dé ?nies sur un même espace probabilisé indépendantes suivant toute une loi uniforme sur On note pour tout n Mn max X Xn et Yn n ?? Mn Déterminer la fonction de répartition de Mn puis celle de Yn Montrer que la suite Yn converge en loi vers une variable remarquable Exercice no On considère une suite Xn n de variables de Poisson indépendantes de paramètre On pose Sn X Xn Déterminer la loi de Sn Calculer P Sn ? n en fonction de n En utilisant le Théorème Cental Limite montrer que lim e ??n n nk n ? ? k k Exercice no Soit Xn une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de bernoulli de paramètre p Pour n ?? N on considère la variable aléatoire Yn Xn Xn Caractériser la variable aléatoire Yn et calculer son espérance mathématique et sa variance Soit Tn n n Yi Calculer l ? espérance mathématique et la variance de Tn Montrer que la suite de variables aléatoires Tn converge en probabilité Exercice no Soit Xn une suite de variables aléatoires indépendantes dont sa densité de probabilité est donnée par fn x n xe ?? n x x sinon Véri ?er bien que fn x est une densité de probabilité C Montrer que la suite Xn converge en probabilté vers Exercice no un fournisseur d ? accès à Internet met en place un point local d ? accès qui dessert abonnés A instant donné chaque abonné a une probabilité égale à d ? être connecté Les comportements des abonnés sont supposés indépendants les uns des autres On note X la variable aléatoire égale au nombre d ? abonnés connectés à un instant t Quelle est la loi de X Quelle est son espérance son écart- type On pose Y X ?? ?? Justi ?er précisément qu ? on peut approcher la loi de Y par la loi normale N Le fournisseur d ? accès souhaite savoir combien de connexions simultanées le point d ? accès doit pouvoir gérer pour que sa probabilité d ? être saturé à un instant donné soit inférieure à En utilisant l ? approximation précédente proposer une valeur approchée de ce nombre de connexions C