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Td revision Travaux dirigés No Révision de l ? algèbre linéaire Enoncés Exercice Matrice d ? Attila Soit n dans N ? et soit A la matrice de Mn K dont tous les coe ?cients sont égaux à Déterminer Ak pour k ?? N Exercice CCP PSI Soit A ai j ij n dans Mn R o

Travaux dirigés No Révision de l ? algèbre linéaire Enoncés Exercice Matrice d ? Attila Soit n dans N ? et soit A la matrice de Mn K dont tous les coe ?cients sont égaux à Déterminer Ak pour k ?? N Exercice CCP PSI Soit A ai j ij n dans Mn R o? aij si i j et aii F EB F F F ED F F Calculer Ap pour p dans N ? Exercice Soit A Montrer que A est nilpotente d ? indice Montrer qu ? il n ? existe pas X dans M R telle que X A Exercice Soit E un R-espace vectoriel de dimension et f dans L E tel F EB F F que f et f Montrer qu ? il existe une base de E dans F ED F F laquelle la matrice de f est Exercice Soient A et B deux matrices carrées d ? ordre n telles que A B AB Montrer que In ?? A est inversible Exercice Soit n dans N ? Soit N une matrice nilpotente dans Mn K Montrer que les matrices In ??N et In N sont inversibles F EB F F F ECF EC F F F F On note A la matrice dé ?nie par A F EC F EC F EC F F F F F F Montrer que In A est inversible et F EC F F F ED F F déterminer son inverse Exercice Soit n dans N ? Soit M dans Mn R dé ?nie par M Cji ?? ?? i j Montrer que M est inversible et n donner son inverse Exercice CCP MP et Soit n dans N ? soient u et v les aplications linéaires dé ?nies sur Rn X par ??P ?? R X u P P X et v P P X ?? Déterminer le rang de f u ?? v à partir de sa matrice Retrouver ce résultat par une autre méthode Exercice F EB F F Étudier en fonction de ? dans R le rang de la matrice A ? F EC F ECF ED ?? ?? ?? F F ?? F F F F ?? ? ?? ? Lycée Ibn Timiya-Marrakech Spéciale MP CTravaux dirigés No Révision de l ? algèbre linéaire Enoncés Exercice Navale MP F EB F F F EB F F F EB F F Soient A F EC F ECF ED F F F F F F B F EC F EDF EC F F F F F F et C F EC F ECF ED F F F F F F Montrer que A et B ne sont pas semblables Montrer que A et C sont semblables Indication de la rédaction on cherchera la matrice de l ? endomorphisme associé à C dans une nouvelle base obtenue par permutation des vecteurs de la base canonique Exercice Soit E un K-espace vectoriel de dimension n Déterminer la trace des endomorphismes suivants une homothétie h de rapport