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Td7 processus corrige 1 Processus aléatoires ENS Paris - Thomas Budzinski Bureau V thomas budzinski ens fr TD Martingales théorème d ? arrêt Corrigé Vendredi Octobre Temps d ? arrêt Exercice Vrai ou faux Soit Sn une marche aléatoire simple symétrique sur

Processus aléatoires ENS Paris - Thomas Budzinski Bureau V thomas budzinski ens fr TD Martingales théorème d ? arrêt Corrigé Vendredi Octobre Temps d ? arrêt Exercice Vrai ou faux Soit Sn une marche aléatoire simple symétrique sur Z et Fn ? S S Sn Lesquelles des variables suivantes sont des temps d ? arrêt pour Fn T min n ? Sn T min n ? Sn Sn ?? T min n ? Sn Sn T min n ? T Sn T max n ?? Sn T min n ?? ??m ?? Sm ? Sn Solution de l ? exercice Les temps T T et T sont des temps d ? arrêts car à chaque fois l ? événement T ? n ne dépend que de S S Sn En revanche T T et T n ? en sont pas puisque les événements T T et T ne sont pas F - mesurables Exercice Ce qui peut arriver arrivera Soit T un temps d ? arrêt pour une ?ltration Fn n ? On suppose qu ? il existe et n ?? N ? tels que pour tout n ? on a p s P T ? n n Fn Montrer que T est ?ni presque sûrement et que E T ? Solution de l ? exercice On montre par récurrence sur k que pour tout k ? P T ? kn ? ?? k C ? est vrai pour k et on a P T ? k n E T ? kn T ? k n E T ? kn P T ? kn n Fkn ? E T ? kn ?? ? ?? k par hypothèse de récurrence On en déduit aisément que E T ? et en particulier que T est presque sûrement ?ni Remarque Il s ? agit d ? une généralisation de la question de l ? exercice du TD C Martingales et marches aléatoires Exercice À la pêche aux martingales Soit Sn une marche aléatoire simple symétrique sur Z et Fn ? S Sn Montrer que Sn est une martingale pour la ?ltration Fn Montrer que Sn ?? n est une martingale pour la ?ltration Fn Montrer que Sn ?? nSn est une martingale pour la ?ltration Fn Soit P X Y un polynôme à deux variables Montrer que P Sn n est une martingale pour la ?ltration Fn si pour tous s n ?? Z on a P s n ?? P s n P s ?? n Soit ?? R Trouver ? ?? R tel que exp Sn ?? ?n est une martingale pour Fn Solution de l ? exercice On note Xn Sn ?? Sn ?? les pas de la marche aléatoire On a E Sn Fn E Sn Xn Fn Sn E Xn Sn par indépendance des accroissements On a E Sn Fn E Sn Fn SnE Xn Fn E Xn Fn Sn On a donc E Sn ?? n Fn Sn ?? n donc on a bien une martingale Le